दिए गए वृत्त $2x^2 + 2y^2 = 5$ और परवलय $y^2 = 4\sqrt{5}x$ के लिए:
कथन-$I$: इन वक्रों की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण $y = x + \sqrt{5}$ है।
कथन-$II$: यदि रेखा $y = mx + \frac{\sqrt{5}}{m} (m \neq 0)$ एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है,तो $m$,$m^4 - 3m^2 + 2 = 0$ को संतुष्ट करता है।
कथन-$I$: इन वक्रों की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण $y = x + \sqrt{5}$ है।
कथन-$II$: यदि रेखा $y = mx + \frac{\sqrt{5}}{m} (m \neq 0)$ एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है,तो $m$,$m^4 - 3m^2 + 2 = 0$ को संतुष्ट करता है।
- Aकथन-$I$ सत्य है,कथन-$II$ सत्य है। कथन-$II$,कथन-$I$ की सही व्याख्या है।
- Bकथन-$I$ सत्य है,कथन-$II$ सत्य है। कथन-$II$,कथन-$I$ की सही व्याख्या नहीं है।
- Cकथन-$I$ सत्य है,कथन-$II$ असत्य है।
- Dकथन-$I$ असत्य है,कथन-$II$ सत्य है।
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मान लीजिए कि रेखा $L: \sqrt{2}x + y = \alpha$ वृत्त $x^2 + y^2 = 3$ और परवलय $x^2 = 2y$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ (प्रथम चतुर्थांश में) से होकर गुजरती है। मान लीजिए कि रेखा $L$ समान त्रिज्या $2\sqrt{3}$ वाले दो वृत्तों $C_1$ और $C_2$ को स्पर्श करती है। यदि वृत्तों $C_1$ और $C_2$ के केंद्र $Q_1$ और $Q_2$,$y$-अक्ष पर स्थित हैं,तो त्रिभुज $PQ_1Q_2$ के क्षेत्रफल का वर्ग किसके बराबर है?
DifficultJEE MAIN 2024
View Solutionपरवलय $(y - 1)^2 = 8(x - 1)$ का शीर्ष एक वृत्त के केंद्र पर स्थित है और परवलय उस वृत्त को अपने नाभिलंब के सिरों पर काटता है। तो उस वृत्त का समीकरण है
वृत्त $x^2+y^2-8x=0$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ बिंदु $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$1.$ वृत्त और अतिपरवलय दोनों के लिए धनात्मक ढाल वाली एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण है:
$(A) 2x-\sqrt{5}y-20=0$
$(B) 2x-\sqrt{5}y+4=0$
$(C) 3x-4y+8=0$
$(D) 4x-3y+4=0$
$2.$ $AB$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण है:
$(A) x^2+y^2-12x+24=0$
$(B) x^2+y^2+12x+24=0$
$(C) x^2+y^2+24x-12=0$
$(D) x^2+y^2-24x-12=0$
$1.$ वृत्त और अतिपरवलय दोनों के लिए धनात्मक ढाल वाली एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण है:
$(A) 2x-\sqrt{5}y-20=0$
$(B) 2x-\sqrt{5}y+4=0$
$(C) 3x-4y+8=0$
$(D) 4x-3y+4=0$
$2.$ $AB$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण है:
$(A) x^2+y^2-12x+24=0$
$(B) x^2+y^2+12x+24=0$
$(C) x^2+y^2+24x-12=0$
$(D) x^2+y^2-24x-12=0$
दो प्रतिच्छेदी वृत्तों $c_1$ और $c_2$ की उभयनिष्ठ जीवा उनके केंद्रों पर क्रमशः $90^\circ$ और $60^\circ$ का कोण बनाती है। यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी $\sqrt{3} + 1$ है,तो $c_1$ और $c_2$ की त्रिज्याएँ हैं:
रेखा $2x - y + 1 = 0$ वृत्त को बिंदु $(2, 5)$ पर स्पर्श करती है और वृत्त का केंद्र $x - 2y = 4$ पर स्थित है। वृत्त की त्रिज्या है
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