दीर्घवृत्त x^{2} + 2y^{2} = 2 के किसी भी स्पर | vedclass

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Question

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $x^{2} + 2y^{2} = 2$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।दीर्घवृत्त पर कोई भी बिंदु $(\

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$\frac{1}{2x^{2}} + \frac{1}{4y^{2}} = 1$

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(A) दिया गया दीर्घवृत्त $x^{2} + 2y^{2} = 2$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।दीर्घवृत्त पर कोई भी बिंदु $(\sqrt{2} \cos 	heta, \sin 	heta)$ के रूप में लिया जा सकता है।इस बिंदु पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{x \cos 	heta}{\sqrt{2}} + \frac{y \sin 	heta}{1} = 1$ है।स्पर्शरेखा $x$-अक्ष को $A(\sqrt{2} \sec 	heta, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B(0, \csc 	heta)$ पर काटती है।माना $AB$ का मध्यबिंदु $Q(h, k)$ है।अतः $h = \frac{\sqrt{2} \sec 	heta}{2} = \frac{\sec 	heta}{\sqrt{2}}$ और $k = \frac{\csc 	heta}{2}$ है।इससे,$\sec 	heta = h\sqrt{2} \Rightarrow \cos 	heta = \frac{1}{h\sqrt{2}}$ और $\csc 	heta = 2k \Rightarrow \sin 	heta = \frac{1}{2k}$ प्राप्त होता है।सर्वसमिका $\cos^{2} 	heta + \sin^{2} 	heta = 1$ का उपयोग करने पर,$\left(\frac{1}{h\sqrt{2}}ight)^{2} + \left(\frac{1}{2k}ight)^{2} = 1$ मिलता है।इस प्रकार,$\frac{1}{2h^{2}} + \frac{1}{4k^{2}} = 1$ है।$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $\frac{1}{2x^{2}} + \frac{1}{4y^{2}} = 1$ है।

दीर्घवृत्त $x^{2} + 2y^{2} = 2$ के किसी भी स्पर्शरेखा के अक्षों के बीच कटे हुए अंतःखंड के मध्यबिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

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