$\gamma$ ના કયા મૂલ્ય માટે રેખા $y = 2x + \gamma$ એ અતિવલય $16x^{2} - 9y^{2} = 144$ ને સ્પર્શે છે?

જો $PQ$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની બેવડી કોટિ (double ordinate) હોય અને $\triangle OPQ$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોય,જ્યાં $O$ એ અતિવલયનું કેન્દ્ર છે,તો અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નીચેનામાંથી કઈ શરતનું પાલન કરે છે?

જો અતિવલય $16x^2 - 25y^2 = 400$ પરના કોઈપણ બિંદુથી તેના અનંતસ્પર્શકો પરના લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $p$ હોય અને બે અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો $p \tan \frac{\theta}{2} =$

અતિવલય $4x^2 - 9y^2 = 36$ ના અભિલંબ યામ અક્ષો $x$ અને $y$ ને અનુક્રમે $A$ અને $B$ માં મળે છે. જો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $OABP$ ($O$ ઉગમબિંદુ છે) રચાય,તો $P$ નો બિંદુપથ શોધો.

ધારો કે $P$ એ અતિવલય $x^2 - y^2 = 4$ પરનું એક બિંદુ છે,જે $(0, -1)$ થી ન્યૂનતમ અંતરે છે,તો $x$-અક્ષથી $P$ નું અંતર કેટલું થાય?

$\alpha$ ની વિવિધ કિંમતો માટે, બે સીધી રેખાઓ $\sqrt{3} x - y - 4 \sqrt{3} \alpha = 0$ અને $\sqrt{3} \alpha x + \alpha y - 4 \sqrt{3} = 0$ ના છેદબિંદુનો બિંદુપથ શું છે?