यदि परवलय y^2 = 4ax के दो बिंदुओं पर खींचे गए | vedclass

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Question

(B) माना परवलय $y^2 = 4ax$ पर दो बिंदु $P(at_1^2, 2at_1)$ और $Q(at_2^2, 2at_2)$ हैं।बिंदु $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है।यदि $t_1$

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$8a^2$

Vedclass · Answer

(B) माना परवलय $y^2 = 4ax$ पर दो बिंदु $P(at_1^2, 2at_1)$ और $Q(at_2^2, 2at_2)$ हैं।बिंदु $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है।यदि $t_1$ और $t_2$ पर अभिलंब परवलय पर एक बिंदु $(x, y)$ पर मिलते हैं,तो प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 2a + a(t_1^2 + t_1t_2 + t_2^2)$ और $y = -at_1t_2(t_1 + t_2)$ द्वारा दिया जाता है।चूंकि प्रतिच्छेदन बिंदु परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्थित है,इसलिए $(-at_1t_2(t_1 + t_2))^2 = 4a(2a + a(t_1^2 + t_1t_2 + t_2^2))$ होगा।इसे सरल करने पर $a^2t_1^2t_2^2(t_1 + t_2)^2 = 4a^2(2 + t_1^2 + t_1t_2 + t_2^2)$ प्राप्त होता है।अभिलंबों के परवलय पर मिलने के लिए शर्त $t_1t_2 = 2$ है।बिंदुओं की कोटि $y_1 = 2at_1$ और $y_2 = 2at_2$ हैं।कोटियों का गुणनफल $y_1y_2 = (2at_1)(2at_2) = 4a^2(t_1t_2)$ है।$t_1t_2 = 2$ रखने पर,$y_1y_2 = 4a^2(2) = 8a^2$ प्राप्त होता है।

List-$I$ (ज्यामितीय गुण)	List-$II$ (निर्देशांक/समीकरण)
$I$. शीर्ष	$A$. $\left(-\frac{3}{2}, -3\right)$
$II$. नाभि	$B$. $\left(\frac{3}{2}, -3\right)$
$III$. नियता का समीकरण	$C$. $2x + 5 = 0$
$IV$. अक्ष का समीकरण	$D$. $2x + y + 3 = 0$
	$E$. $y + 3 = 0$
	$F$. $(-2, -3)$

यदि परवलय $y^2 = 4ax$ के दो बिंदुओं पर खींचे गए अभिलंब परवलय पर ही मिलते हैं,तो इन बिंदुओं के कोटि (ordinates) का गुणनफल क्या होगा?

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