समीकरण $\frac{x^2}{12 - \lambda} + \frac{y^2}{8 - \lambda} = 1$ क्या दर्शाता है?

यदि एक अतिपरवलय की अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2 \sin \theta$ है और यह दीर्घवृत्त $3x^2 + 4y^2 = 12$ के साथ समनाभि (confocal) है,तो इसका समीकरण ज्ञात कीजिए:

अतिपरवलय $2x^2 - 3y^2 = 6$ की स्पर्श रेखा का समीकरण जो रेखा $y = 3x + 4$ के समांतर है,है:

मान लीजिए कि अतिपरवलय $H: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित बिंदु $P(4, 2\sqrt{3})$ की नाभीय दूरियों का गुणनफल $32$ है। यदि $H$ के संयुग्मी अक्ष की लंबाई $p$ है और इसके नाभिलंब की लंबाई $q$ है,तो $p^2 + q^2$ का मान ...... है।

एक अतिपरवलय $H$ के शीर्ष $(\pm 6, 0)$ हैं और इसकी उत्केंद्रता $\frac{\sqrt{5}}{2}$ है। मान लीजिए $N$,प्रथम चतुर्थांश में स्थित एक बिंदु पर $H$ का अभिलंब है और रेखा $\sqrt{2} x + y = 2 \sqrt{2}$ के समांतर है। यदि $d$,$H$ और $y$-अक्ष के बीच $N$ के रेखाखंड की लंबाई है,तो $d^2$ का मान $............$ है।

यदि किसी बिंदु के निर्देशांक समीकरणों $x = b \sec \phi$ और $y = a \tan \phi$ द्वारा दिए गए हैं,तो उसका बिंदु पथ क्या है?