मान लीजिए f(x) = sin x और g(x) = x है।कथन-1: | vedclass

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Question

(B) फलन $h(x) = g(x) - f(x) = x - \sin x$ पर विचार करें।यह जांचने के लिए कि क्या $x > 0$ के लिए $f(x) \leq g(x)$ है,हम $h(x)$ का विश्लेषण करते हैं।इसक

Vedclass · Accepted Answer

कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ सत्य है; कथन-$2$,कथन-$1$ का सही स्पष्टीकरण नहीं है।

Vedclass · Answer

(B) फलन $h(x) = g(x) - f(x) = x - \sin x$ पर विचार करें।यह जांचने के लिए कि क्या $x > 0$ के लिए $f(x) \leq g(x)$ है,हम $h(x)$ का विश्लेषण करते हैं।इसका अवकलज $h'(x) = 1 - \cos x$ है।चूंकि सभी $x$ के लिए $\cos x \leq 1$ है,इसलिए $h'(x) = 1 - \cos x \geq 0$ है।इसका अर्थ है कि $x \geq 0$ के लिए $h(x)$ एक वर्धमान फलन है।चूंकि $h(0) = 0 - \sin(0) = 0$ है,इसलिए सभी $x \geq 0$ के लिए $h(x) \geq 0$ है।अतः,$x - \sin x \geq 0$,जिसका अर्थ है कि $x \in (0, \infty)$ के लिए $x \geq \sin x$ या $g(x) \geq f(x)$ है।इसलिए,कथन-$1$ सत्य है।अब कथन-$2$ पर विचार करें: $x \in (0, \infty)$ के लिए,$f(x) = \sin x \leq 1$ सत्य है।साथ ही,जैसे $x \rightarrow \infty$,$g(x) = x \rightarrow \infty$ भी सत्य है।हालाँकि,यह तथ्य कि $f(x) \leq 1$ और $g(x) \rightarrow \infty$ है,अवकलज परीक्षण का उपयोग किए बिना सीधे $f(x) \leq g(x)$ को सिद्ध नहीं करता है।अतः,कथन-$2$ सत्य है,लेकिन यह कथन-$1$ के लिए सीधा तार्किक स्पष्टीकरण नहीं है।

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