यदि वक्र x^4 + y^4 = a^4 पर किसी भी बिंदु पर | vedclass

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Question

(A) दिया गया वक्र $x^4 + y^4 = a^4$ है।माना स्पर्श बिंदु $P(x_1, y_1)$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$4x^3 + 4y^3 \frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $

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$a^{-4/3}$

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(A) दिया गया वक्र $x^4 + y^4 = a^4$ है।माना स्पर्श बिंदु $P(x_1, y_1)$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$4x^3 + 4y^3 \frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{x^3}{y^3}$।$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = -\frac{x_1^3}{y_1^3}$ है।$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = -\frac{x_1^3}{y_1^3}(x - x_1)$ है।इसे सरल करने पर $y y_1^3 - y_1^4 = -x x_1^3 + x_1^4$,या $x x_1^3 + y y_1^3 = x_1^4 + y_1^4$ प्राप्त होता है।चूंकि $(x_1, y_1)$ वक्र पर स्थित है,$x_1^4 + y_1^4 = a^4$,इसलिए समीकरण $x x_1^3 + y y_1^3 = a^4$ है।$x$-अंतःखंड $p$ प्राप्त करने के लिए $y=0$ रखने पर,$p = \frac{a^4}{x_1^3}$ मिलता है।$y$-अंतःखंड $q$ प्राप्त करने के लिए $x=0$ रखने पर,$q = \frac{a^4}{y_1^3}$ मिलता है।अब,$p^{-4/3} + q^{-4/3} = (\frac{a^4}{x_1^3})^{-4/3} + (\frac{a^4}{y_1^3})^{-4/3}$ की गणना करने पर।$= a^{-16/3} (x_1^4 + y_1^4) = a^{-16/3} (a^4) = a^{4 - 16/3} = a^{-4/3}$।

यदि वक्र $x^4 + y^4 = a^4$ पर किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा अक्षों को $p$ और $q$ पर काटती है,तो $p^{-4/3} + q^{-4/3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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