मान लीजिए g: (-infty, infty) to (-frac{pi}{2} | vedclass

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Question

(C) फलन $g(x) = 2 	an^{-1}(e^x) - \frac{\pi}{2}$ के लिए,इसका अवकलन करने पर: $g'(x) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (e^x)^2} \cdot e^x = \frac{2e^x}{1 + e^{2x}

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एक विषम फलन और $(-\infty, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान फलन है।

Vedclass · Answer

(C) फलन $g(x) = 2 	an^{-1}(e^x) - \frac{\pi}{2}$ के लिए,इसका अवकलन करने पर: $g'(x) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (e^x)^2} \cdot e^x = \frac{2e^x}{1 + e^{2x}}$। चूँकि $e^x > 0$ सभी $x \in (-\infty, \infty)$ के लिए है,इसलिए $g'(x) > 0$ है। अतः,$g(x)$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ में निरंतर वर्धमान फलन है। अब,सम या विषम की जाँच करने के लिए: $g(-x) = 2 	an^{-1}(e^{-x}) - \frac{\pi}{2} = 2 	an^{-1}(\frac{1}{e^x}) - \frac{\pi}{2}$। सर्वसमिका $	an^{-1}(\frac{1}{u}) = \frac{\pi}{2} - 	an^{-1}(u)$ (जब $u > 0$) का उपयोग करने पर: $g(-x) = 2(\frac{\pi}{2} - 	an^{-1}(e^x)) - \frac{\pi}{2} = \pi - 2 	an^{-1}(e^x) - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 2 	an^{-1}(e^x) = -g(x)$। इस प्रकार,$g(-x) = -g(x)$ होने के कारण $g(x)$ एक विषम फलन है।

मान लीजिए $g: (-\infty, \infty) \to (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ को $g(x) = 2 \tan^{-1}(e^x) - \frac{\pi}{2}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो $g(x)$ है...

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