फलन f(x) = tan^{-1}(sin x + cos x) किस अंतराल | vedclass

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Question

(B) वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन $f(x) = 	an^{-1}(\sin x + \cos x)$ वर्धमान है,हमें अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करना होगा और इसे $0$ से बड़ा रखना होग

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$(-\pi/2, \pi/4)$

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(B) वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन $f(x) = 	an^{-1}(\sin x + \cos x)$ वर्धमान है,हमें अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करना होगा और इसे $0$ से बड़ा रखना होगा।दिया गया है: $f(x) = 	an^{-1}(\sin x + \cos x)$।श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x + \cos x)^2} 	imes (\cos x - \sin x)$।फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।चूंकि $1 + (\sin x + \cos x)^2$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए हमें निम्नलिखित शर्त की आवश्यकता है:$\cos x - \sin x > 0$$\cos x > \sin x$$\cos x$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि संबंधित डोमेन में $\cos x > 0$ है),हमें प्राप्त होता है:$1 > 	an x$$	an x चूंकि $x = \pi/4$ पर $	an x = 1$ होता है,इसलिए $	an x त्रिकोणमितीय फलनों के मानक डोमेन को ध्यान में रखते हुए,अंतराल $(-\pi/2, \pi/4)$ प्राप्त होता है।

फलन $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$ किस अंतराल में एक वर्धमान फलन है?

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