माना f(x) = begin{cases} x e^{3x}, & x le 0 | vedclass

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Question

(D) सबसे पहले,हम दोनों अंतरालों के लिए $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$x \le 0$ के लिए,$f(x) = x e^{3x}$। गुणन नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = e^{3x} + 3x e^{3

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इनमें से कोई नहीं

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(D) सबसे पहले,हम दोनों अंतरालों के लिए $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$x \le 0$ के लिए,$f(x) = x e^{3x}$। गुणन नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = e^{3x} + 3x e^{3x} = e^{3x}(1 + 3x)$।$x > 0$ के लिए,$f(x) = 2x^3 + x$। अतः $f'(x) = 6x^2 + 1$।इस प्रकार,$f'(x) = \begin{cases} e^{3x}(1 + 3x), & x \le 0 \ 6x^2 + 1, & x > 0 \end{cases}$।$f'(x)$ के वर्धमान फलन होने के लिए,इसका अवकलज $f''(x) > 0$ होना चाहिए।$x $f''(x) > 0$ रखने पर,$3e^{3x}(2 + 3x) > 0$। चूंकि सभी $x$ के लिए $3e^{3x} > 0$ है,इसलिए $2 + 3x > 0$,जिसका अर्थ है $x > -\frac{2}{3}$।$x > 0$ के लिए,$f''(x) = \frac{d}{dx}[6x^2 + 1] = 12x$। $f''(x) > 0$ रखने पर,$12x > 0$,जिसका अर्थ है $x > 0$।इन अंतरालों को मिलाने पर,हमें $x \in (-\frac{2}{3}, 0) \cup (0, \infty)$ प्राप्त होता है।$x=0$ पर $f'(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने पर: $\lim_{x 	o 0^-} f'(x) = 1$ और $\lim_{x 	o 0^+} f'(x) = 1$। चूंकि $f'(0) = 1$,इसलिए $f'(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है।अतः,$f'(x)$ अंतराल $x \in (-\frac{2}{3}, \infty)$ के लिए एक वर्धमान फलन है।

माना $f(x) = \begin{cases} x e^{3x}, & x \le 0 \\ 2x^3 + x, & x > 0 \end{cases}$ है। $x$ के उन सभी मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए $f'(x)$ एक वर्धमान फलन है।

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