समाकलन ज्ञात कीजिए: int sec^2 theta (sec thet | vedclass

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Question

(C) माना $t = \sec 	heta + 	an 	heta$. तब $dt = (\sec 	heta 	an 	heta + \sec^2 	heta) d	heta = \sec 	heta (	an 	heta + \sec 	heta) d	heta

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{(\sec 	heta + 	an 	heta)}{3} [2 + 	an 	heta (\sec 	heta + 	an 	heta)] + C$

Vedclass · Answer

(C) माना $t = \sec 	heta + 	an 	heta$. तब $dt = (\sec 	heta 	an 	heta + \sec^2 	heta) d	heta = \sec 	heta (	an 	heta + \sec 	heta) d	heta$. $t = \sec 	heta + 	an 	heta$ से,हमें $\sec 	heta - 	an 	heta = \frac{1}{t}$ प्राप्त होता है। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2 \sec 	heta = t + \frac{1}{t} \implies \sec 	heta = \frac{t^2 + 1}{2t}$. दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2 	an 	heta = t - \frac{1}{t} \implies 	an 	heta = \frac{t^2 - 1}{2t}$. अब,$\sec^2 	heta = \sec 	heta \cdot \sec 	heta = \frac{t^2 + 1}{2t} \cdot \sec 	heta$. समाकलन में मान रखने पर: $\int \sec^2 	heta (\sec 	heta + 	an 	heta)^2 d	heta = \int \sec 	heta \cdot \sec 	heta \cdot t^2 d	heta$. चूंकि $dt = \sec 	heta \cdot t d	heta$,इसलिए $d	heta = \frac{dt}{t \sec 	heta}$. समाकलन इस प्रकार होगा: $\int \sec 	heta \cdot t^2 \cdot \frac{dt}{t} = \int \sec 	heta \cdot t dt = \int \frac{t^2 + 1}{2t} \cdot t dt = \frac{1}{2} \int (t^2 + 1) dt = \frac{1}{2} (\frac{t^3}{3} + t) + C = \frac{t}{6} (t^2 + 3) + C$. $t = \sec 	heta + 	an 	heta$ रखने पर: $\frac{(\sec 	heta + 	an 	heta)}{6} ((\sec 	heta + 	an 	heta)^2 + 3) + C$. विस्तार करने पर $(\sec 	heta + 	an 	heta)^2 = \sec^2 	heta + 	an^2 	heta + 2 \sec 	heta 	an 	heta = 1 + 2 	an^2 	heta + 2 \sec 	heta 	an 	heta$. परिणाम: $\frac{(\sec 	heta + 	an 	heta)}{6} (1 + 2 	an^2 	heta + 2 \sec 	heta 	an 	heta + 3) = \frac{(\sec 	heta + 	an 	heta)}{6} (4 + 2 	an^2 	heta + 2 \sec 	heta 	an 	heta) = \frac{(\sec 	heta + 	an 	heta)}{3} (2 + 	an^2 	heta + \sec 	heta 	an 	heta) = \frac{(\sec 	heta + 	an 	heta)}{3} [2 + 	an 	heta (	an 	heta + \sec 	heta)] + C$.

समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \sec^2 \theta (\sec \theta + \tan \theta)^2 d\theta$

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यदि $x \neq (2n+1) \frac{\pi}{2}$ है, तो $\int \frac{\cos^3 x}{(1+\sin x)^4} dx =$

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