$x \neq 0$ માટે નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} 4 + x^2 & -6 & -2 \\ -6 & 9 + x^2 & 3 \\ -2 & 3 & 1 + x^2 \end{array} \right|$ એ નીચેનામાંથી કોના વડે વિભાજ્ય નથી?

શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક (rank) શોધો.

અમુક $a, b$ માટે,ધારો કે $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} a+\frac{\sin x}{x} & 1 & b \\ a & 1+\frac{\sin x}{x} & b \\ a & 1 & b+\frac{\sin x}{x} \end{array}\right|, \quad x \neq 0$. જો $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lambda + \mu a + \nu b$ હોય,તો $(\lambda + \mu + \nu)^2$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $f$ એ $R$ પર વ્યાખ્યાયિત બે વાર વિકલનીય વિધેય છે,જેથી $f(0)=1$,$f^{\prime}(0)=2$ અને તમામ $x \in R$ માટે $f^{\prime}(x) \neq 0$ છે. જો તમામ $x \in R$ માટે $\left|\begin{array}{ll}f(x) & f^{\prime}(x) \\ f^{\prime}(x) & f^{\prime \prime}(x)\end{array}\right|=0$ હોય,તો $f(1)$ ની કિંમત કયા અંતરાલમાં હશે?

જો $f(x) = \begin{vmatrix} 1 + \sin x + \sin 2x + \sin 3x & \frac{3 + \sin 2x}{2} & \frac{-2 + \sin 3x}{3} \\ 3 + 4 \sin x & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} \sin x \\ 1 + \sin x & \frac{1}{2} \sin x & \frac{1}{3} \end{vmatrix}$ હોય, તો $\int_0^{\pi / 2} (f(x) + f^{\prime}(x)) dx =$

$AX=O$ દ્વારા દર્શાવેલ ત્રણ અજ્ઞાત ધરાવતી ત્રણ સુરેખ સમીકરણોની સમાંગ પ્રણાલી ધ્યાનમાં લો. જો $X=\left[\begin{array}{c}l \\ m \\ 0\end{array}\right]$, જ્યાં $l \neq 0, m \neq 0, l, m \in \mathbb{R}$, આ પ્રણાલીના અનંત ઉકેલો દર્શાવે છે, તો $A$ નો શ્રેણીક (rank) કેટલો હશે?