एक वृत्त C,रेखा x=2y को बिंदु (2,1) पर स्पर्श | vedclass

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Question

(A) रेखा $x-2y=0$ को $(2,1)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्त $C$ का समीकरण $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+\lambda(x-2y)=0$ है।इसे विस्तारित करने पर,$x^{2}+y^{2}+x(\la

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$7\sqrt{5}$

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(A) रेखा $x-2y=0$ को $(2,1)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्त $C$ का समीकरण $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+\lambda(x-2y)=0$ है।इसे विस्तारित करने पर,$x^{2}+y^{2}+x(\lambda-4)+y(-2-2\lambda)+5=0$ प्राप्त होता है।दिया गया वृत्त $C_{1}$,$x^{2}+y^{2}+2y-5=0$ है।उभयनिष्ठ जीवा $PQ$,रेडिकल अक्ष $C-C_{1}=0$ है,जो $x(\lambda-4)-y(2\lambda+4)+10=0$ है।चूंकि $PQ$,$C_{1}$ का व्यास है,यह $C_{1}$ के केंद्र $(0,-1)$ से होकर गुजरता है।$(0,-1)$ को $PQ$ के समीकरण में रखने पर: $0(\lambda-4)-(-1)(2\lambda+4)+10=0$ $\Rightarrow 2\lambda+14=0$ $\Rightarrow \lambda=-7$.$\lambda=-7$ को $C$ के समीकरण में रखने पर: $x^{2}+y^{2}-11x+12y+5=0$.$C$ का केंद्र $(\frac{11}{2}, -6)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{\frac{121}{4}+36-5} = \frac{7\sqrt{5}}{2}$ है।अतः,$C$ का व्यास $2r = 7\sqrt{5}$ है।

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$\lambda$ का वह मान,जिसके लिए वृत्त $x^2 + y^2 + 2\lambda x + 6y + 1 = 0$,वृत्त $x^2 + y^2 + 4x + 2y = 0$ को लंबकोणीय (orthogonally) प्रतिच्छेद करता है,है

$P, Q$ और $R$ तीन सह-अक्षीय वृत्तों के केंद्र हैं और $r_1, r_2, r_3$ क्रमशः उनकी त्रिज्याएँ हैं। तो $QRr_1^2 + RP r_2^2 + PQ r_3^2$ किसके बराबर है?

यदि बिंदु $P$ से वृत्तों $x^2+y^2-8x+40=0$,$5x^2+5y^2-25x+80=0$ और $x^2+y^2-8x+16y+160=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान है,तो बिंदु $P$ क्या है?

यदि दो वृत्तों $x^2+y^2+\alpha_1(x-y)+c=0$ और $x^2+y^2+\alpha_2(x-y)+c=0$ में से एक दूसरे के भीतर स्थित है,तो (जहाँ $\alpha_1, \alpha_2 \in R, \alpha_1 \neq \alpha_2$):

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