એક સતત અને વિકલનીય વિધેય f એ શરત int_{0}^{x} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ સમીકરણ $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ છે. બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,કેલ્ક્યુલસના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને: $f(x) = 2f(x)

Vedclass · Accepted Answer

$(A)$ અને $(C)$ બંને

Vedclass · Answer

(D) આપેલ સમીકરણ $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ છે. બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,કેલ્ક્યુલસના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને: $f(x) = 2f(x)f'(x)$. જો $f(x) 
eq 0$ હોય,તો $f(x)$ વડે ભાગતા આપણને $f'(x) = \frac{1}{2}$ મળે છે. $f'(x) = \frac{1}{2}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$f(x) = \frac{x}{2} + c$ મળે છે. મૂળ સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા: $\int_{0}^{0} f(t) dt = f^2(0) - 1 \Rightarrow 0 = f^2(0) - 1 \Rightarrow f(0) = \pm 1$. આમ,$c = \pm 1$,તેથી $f(x) = \frac{x}{2} + 1$ અથવા $f(x) = \frac{x}{2} - 1$. બંને કિસ્સાઓમાં,$f'(x) = \frac{1}{2} > 0$,તેથી $f$ એ તમામ $x \in R$ માટે મોનોટોનિક વધતું વિધેય છે. તેમજ,$f(x) = \frac{x}{2} \pm 1$ નો આલેખ એક સીધી રેખા છે. તેથી,$(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

સ્તંભ $I$	સ્તંભ $II$
$(A) \int_{-1}^1 \frac{dx}{1+x^2}$	$(p) \frac{1}{2} \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(B) \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$	$(q) 2 \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(C) \int_2^3 \frac{dx}{1-x^2}$	$(r) \frac{\pi}{3}$
$(D) \int_1^2 \frac{dx}{x \sqrt{x^2-1}}$	$(s) \frac{\pi}{2}$

એક સતત અને વિકલનીય વિધેય $f$ એ શરત $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ ને તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે સંતોષે છે. તો:

Similar Questions

$x \in R \setminus \{0\}$ માટે સમીકરણ $6 \int_{0}^{|x|} ((t^2-1) \ln t) dt = 5|x|$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $I = \sum_{k=1}^{98} \int_k^{k+1} \frac{k+1}{x(x+1)} dx$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

$y = \int_{0}^{x} (t - 1)(t - 2) dt$ ની અંતિમ કિંમત (extremum value) શોધો.

ધારો કે $a, b, c$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $\int_0^1 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx} = \int_0^2 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx}$. તો દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module