$x \in R \setminus \{0\}$ માટે સમીકરણ $6 \int_{0}^{|x|} ((t^2-1) \ln t) dt = 5|x|$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

$y = \int_{0}^{x} (t - 1)(t - 2) dt$ ની અંતિમ કિંમત (extremum value) શોધો.

વિધેય $y = f(x)$ ના આલેખ પરના બિંદુ $x = a$ આગળનો સ્પર્શક $x$-અક્ષ સાથે $\pi/3$ નો ખૂણો બનાવે છે અને $x = b$ આગળના બિંદુએ $\pi/4$ નો ખૂણો બનાવે છે. તો સંકલન $\int_{a}^{b} f(x) \cdot f''(x) \, dx$ ની કિંમત શોધો (ધારો કે $f''(x)$ સતત છે).

એક બહુપદી વિધેય $f(x)$ જે શરતો $f(x) = [f'(x)]^2$ અને $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{19}{12}$ નું પાલન કરે છે,તે હોઈ શકે:

ધારો કે વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(t)=\begin{cases} (-1)^{n+1} 2, & \text{જો } t=2n-1, n \in N \\ \frac{(2n+1-t)}{2} f(2n-1) + \frac{(t-(2n-1))}{2} f(2n+1), & \text{જો } 2n-1 < t < 2n+1, n \in N \end{cases}$
$g(x) = \int_1^x f(t) dt, x \in (1, \infty)$ વ્યાખ્યાયિત કરો. ધારો કે $\alpha$ એ અંતરાલ $(1, 8]$ માં સમીકરણ $g(x) = 0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા દર્શાવે છે અને $\beta = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{g(x)}{x-1}$ છે. તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^9 \sqrt{x} \,dx + \int_0^{\pi/2} (\cos x + \sin x) \,dx$ નું મૂલ્ય શોધો.