एक सतत और अवकलनीय फलन f सभी वास्तविक x के लिए | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ है। कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $f(x)

Vedclass · Accepted Answer

$(A)$ और $(C)$ दोनों

Vedclass · Answer

(D) दिया गया समीकरण $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ है। कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $f(x) = 2f(x)f'(x)$। यदि $f(x) 
eq 0$ है,तो $f(x)$ से विभाजित करने पर हमें $f'(x) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है। $f'(x) = \frac{1}{2}$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $f(x) = \frac{x}{2} + c$ प्राप्त होता है। मूल समीकरण में $x = 0$ रखने पर: $\int_{0}^{0} f(t) dt = f^2(0) - 1 \Rightarrow 0 = f^2(0) - 1 \Rightarrow f(0) = \pm 1$। अतः,$c = \pm 1$,इसलिए $f(x) = \frac{x}{2} + 1$ या $f(x) = \frac{x}{2} - 1$। दोनों स्थितियों में,$f'(x) = \frac{1}{2} > 0$,इसलिए $f$ सभी $x \in R$ के लिए मोनोटोनिक रूप से बढ़ रहा है। साथ ही,$f(x) = \frac{x}{2} \pm 1$ का ग्राफ एक सीधी रेखा है। इसलिए,$(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

एक सतत और अवकलनीय फलन $f$ सभी वास्तविक $x$ के लिए शर्त $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ को संतुष्ट करता है। तो:

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