एक पतली ऊर्ध्वाधर समान लकड़ी की छड़ को शीर्ष | vedclass

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Question

(B) माना $L$ छड़ की कुल लंबाई है,$A$ इसका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $\rho_w$ तथा $\rho_r$ क्रमशः पानी और छड़ के घनत्व हैं। दिया गया है $\rho_w

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$3$

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(B) माना $L$ छड़ की कुल लंबाई है,$A$ इसका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $ho_w$ तथा $ho_r$ क्रमशः पानी और छड़ के घनत्व हैं। दिया गया है $ho_w = \frac{9}{5} ho_r$। माना $x$ छड़ की डूबी हुई लंबाई है।छड़ का भार उसके द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है,जो धुरी से $L/2$ की दूरी पर है। उत्प्लावन बल $F_B$ डूबे हुए भाग के केंद्र पर कार्य करता है,जो धुरी से $(L - x/2)$ की दूरी पर है।छोटे कोणीय विस्थापन $	heta$ के लिए,गुरुत्वाकर्षण के कारण टॉर्क $	au_g = (ho_r A L g) \frac{L}{2} \sin 	heta$ है।उत्प्लावन बल के कारण टॉर्क $	au_B = F_B (L - x/2) \sin 	heta$ है,जहाँ $F_B = ho_w (A x) g$ है।संतुलन तब अस्थिर होता है जब नेट रिस्टोरिंग टॉर्क शून्य या नकारात्मक हो जाता है। स्थिरता के लिए शर्त यह है कि रिस्टोरिंग टॉर्क (गुरुत्वाकर्षण) अस्थिर करने वाले टॉर्क (उत्प्लावन) से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।$(ho_r A L g) \frac{L}{2} \sin 	heta = (ho_w A x g) (L - x/2) \sin 	heta$$ho_r L^2 / 2 = ho_w x (L - x/2)$$ho_w = \frac{9}{5} ho_r$ प्रतिस्थापित करने पर:$ho_r L^2 / 2 = \frac{9}{5} ho_r x (L - x/2)$$L^2 / 2 = \frac{9}{5} (Lx - x^2/2)$$5L^2 = 18Lx - 9x^2$$9x^2 - 18Lx + 5L^2 = 0$द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:$x = \frac{18L \pm \sqrt{324L^2 - 180L^2}}{18} = \frac{18L \pm \sqrt{144L^2}}{18} = \frac{18L \pm 12L}{18}$$x = \frac{30L}{18} = \frac{5}{3}L$ (संभव नहीं है क्योंकि $x अतः,$x = L/3$,जिसका अर्थ है कि $L/x = 3$।

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