Column-IColumn-II(A) R^2 में,यदि सदिश alpha h | vedclass

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Question

(A) सदिश $\vec{u} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j}$ का $\vec{v} = \sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$ पर प्रक्षेप का परिमाण $\frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\

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$(A) \rightarrow (P, Q), (B) \rightarrow (P, Q), (C) \rightarrow (P, Q, S, T), (D) \rightarrow (Q, T)$

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(A) सदिश $\vec{u} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j}$ का $\vec{v} = \sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$ पर प्रक्षेप का परिमाण $\frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|} = \frac{|\sqrt{3}\alpha + \beta|}{2} = \sqrt{3}$ है।अतः,$|\sqrt{3}\alpha + \beta| = 2\sqrt{3}$।दिया है $\alpha = 2 + \sqrt{3}\beta$,अतः $\beta = \frac{\alpha - 2}{\sqrt{3}}$।मान रखने पर,$|\sqrt{3}\alpha + \frac{\alpha - 2}{\sqrt{3}}| = 2\sqrt{3} \Rightarrow |4\alpha - 2| = 6$।अतः $4\alpha - 2 = 6 \Rightarrow \alpha = 2$ या $4\alpha - 2 = -6 \Rightarrow \alpha = -1$।इस प्रकार,$|\alpha| = 2$ या $1$ है।$(B)$ $x=1$ पर सांतत्य के लिए: $-3a - 2 = b + a^2 \Rightarrow b = -a^2 - 3a - 2$।$x=1$ पर अवकलनीयता के लिए: $-6a = b$।अतः $-a^2 - 3a - 2 = -6a \Rightarrow a^2 - 3a + 2 = 0 \Rightarrow a = 1, 2$।$(C)$ पद $X = 3-3\omega+2\omega^2$ लेने पर,समीकरण $X^{4n+3}(1 + \omega^{4n} + \omega^{8n}) = 0$ बनता है।अतः $1 + \omega^{4n} + \omega^{8n} = 0$,जो तभी संभव है जब $n$,$3$ का गुणज न हो।$(D)$ $a=5-d, q=5+d, b=5+2d$ लेने पर।$HM = \frac{2ab}{a+b} = 4 \Rightarrow ab = 2(a+b)$।सरल करने पर $2d^2 - 3d - 5 = 0 \Rightarrow d = 2.5, -1$।$|q-a| = |2d| = 5, 2$।

Column-$I$	Column-$II$
$(A)$ $R^2$ में,यदि सदिश $\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}$ का $\sqrt{3} \hat{i}+\hat{j}$ पर प्रक्षेप सदिश का परिमाण $\sqrt{3}$ है और यदि $\alpha=2+\sqrt{3} \beta$ है,तो $\|\alpha\|$ का संभावित मान (मानों) है	$(P)$ $1$
$(B)$ मान लीजिए $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं ताकि फलन $f(x)=\begin{cases} -3ax^2-2, & x < 1 \\ bx+a^2, & x \geq 1 \end{cases}$ सभी $x \in R$ के लिए अवकलनीय है। तो $a$ का संभावित मान (मानों) है	$(Q)$ $2$
$(C)$ मान लीजिए $\omega \neq 1$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है। यदि $(3-3\omega+2\omega^2)^{4n+3} + (2+3\omega-3\omega^2)^{4n+3} + (-3+2\omega+3\omega^2)^{4n+3}=0$ है,तो $n$ का संभावित मान (मानों) है	$(R)$ $3$
$(D)$ मान लीजिए दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ का हरात्मक माध्य $4$ है। यदि $q$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है ताकि $a, 5, q, b$ समांतर श्रेणी में हैं,तो $\|q-a\|$ का मान (मानों) है	$(S)$ $4$
	$(T)$ $5$

सूची-$I$	सूची-$II$
$(A)$ $[\mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c}]$	$1. \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos(\mathbf{a}, \mathbf{b})$
$(B)$ $(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \times \mathbf{b}$	$2. (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$
$(C)$ $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$	$3. \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$
$(D)$ $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$	$4. \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|$
	$5. (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$

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यदि $b$ और $c$ असंरेख सदिश हैं, $|c| \neq 0$, $a \times(b \times c)+(a \cdot b) b=(4-2 \beta-\sin \alpha) b+\left(\beta^2-1\right) c$ और $(c \cdot c) a=c$ है, तो अदिश $\alpha$ और $\beta$ क्या हैं?

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