AX=O द्वारा निरूपित तीन अज्ञात चरों वाले तीन | vedclass

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Question

(B) एक समघात निकाय $AX=O$ के लिए, यदि निकाय के पास गैर-तुच्छ हल (अनंत हल) हैं, तो आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य होना चाहिए, अर्थात $|A| = 0$। इसका अर्थ ह

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(B) एक समघात निकाय $AX=O$ के लिए, यदि निकाय के पास गैर-तुच्छ हल (अनंत हल) हैं, तो आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य होना चाहिए, अर्थात $|A| = 0$। इसका अर्थ है कि $A$ की कोटि (rank) चरों की संख्या $3$ से कम होनी चाहिए। यह दिया गया है कि $X = [l, m, 0]^T$ एक हल है जहाँ $l, m 
eq 0$, इसलिए हल स्थान में कम से कम एक गैर-शून्य सदिश है। चूँकि हल $k[l, m, 0]^T$ के रूप में है, शून्य स्थान (nullity) का आयाम कम से कम $1$ है। रैंक-नलिटी प्रमेय के अनुसार, $	ext{rank}(A) + 	ext{nullity}(A) = n$, जहाँ $n=3$ है। यदि नलिटी $1$ है, तो $	ext{rank}(A) = 3 - 1 = 2$। अतः, $A$ की कोटि $2$ है।

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$x \neq 0$ के लिए सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} 4 + x^2 & -6 & -2 \\ -6 & 9 + x^2 & 3 \\ -2 & 3 & 1 + x^2 \end{array} \right|$ निम्नलिखित में से किससे विभाज्य नहीं है?

यदि $y = \begin{vmatrix} f(x) & g(x) & h(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{vmatrix}$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{dy}{dx} = \begin{vmatrix} f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{vmatrix}$.

यदि $\begin{vmatrix} x^2+x & x+1 & x-2 \\ 2x^2+3x-1 & 3x & 3x-3 \\ x^2+2x+3 & 2x-1 & 2x-1 \end{vmatrix} = xA+B$,जहाँ $A$ और $B$ क्रम $3$ के सारणिक हैं जिनमें $x$ शामिल नहीं है,तो $|A|=$

यदि आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 6 & 8 & 7 & \alpha \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) $3$ है, तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

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