क्षेत्र R = {( x , y ) in mathbb{R} times mat | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए वृत्त $(x-h)^2 + y^2 = r^2$ है,जहाँ केंद्र $(h, 0)$ है और त्रिज्या $r$ है। चूँकि वृत्त $R$ में निहित है,इसलिए इसे परवलय $y^2 = 4-x$ को क

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$1.50, 2$

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(A) मान लीजिए वृत्त $(x-h)^2 + y^2 = r^2$ है,जहाँ केंद्र $(h, 0)$ है और त्रिज्या $r$ है। चूँकि वृत्त $R$ में निहित है,इसलिए इसे परवलय $y^2 = 4-x$ को किसी बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श करना चाहिए।वृत्त के समीकरण में $y^2 = 4-x$ प्रतिस्थापित करने पर: $(x-h)^2 + 4-x = r^2$,जो सरल होकर $x^2 - (2h+1)x + (h^2+4-r^2) = 0$ हो जाता है।स्पर्श के लिए,विविक्तकर शून्य होना चाहिए: $D = (2h+1)^2 - 4(h^2+4-r^2) = 0$.$4h^2 + 4h + 1 - 4h^2 - 16 + 4r^2 = 0 \Rightarrow 4h + 4r^2 = 15 \Rightarrow h = \frac{15-4r^2}{4}$.साथ ही,वृत्त को $x \geq 0$ में निहित होना चाहिए,इसलिए सबसे बायाँ बिंदु $h-r \geq 0 \Rightarrow h \geq r$.$h$ का मान रखने पर: $\frac{15-4r^2}{4} \geq r \Rightarrow 15-4r^2 \geq 4r \Rightarrow 4r^2 + 4r - 15 \leq 0$.$4r^2 + 4r - 15 = 0$ को हल करने पर: $r = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(4)(-15)}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{8} = \frac{-4 \pm 16}{8}$.चूँकि $r > 0$,इसलिए $r = \frac{12}{8} = 1.5$.$r = 1.5$ के लिए,$h = \frac{15 - 4(2.25)}{4} = \frac{15-9}{4} = 1.5$.वृत्त $(x-1.5)^2 + y^2 = 2.25$ है। $y^2 = 4-x$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु: $(x-1.5)^2 + 4-x = 2.25 \Rightarrow x^2 - 3x + 2.25 + 4 - x = 2.25 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow \alpha = 2$.

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