$BC = 6 \, cm$,$AB = 5 \, cm$ और $\angle ABC = 60^{\circ}$ वाला एक त्रिभुज $ABC$ खींचिए। फिर एक ऐसे त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ त्रिभुज $ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{3}{4}$ हों।

(N/A) एक $\triangle A'BC'$ जिसकी भुजाएँ $\triangle ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{3}{4}$ हों,उसे निम्नलिखित प्रकार से खींचा जा सकता है:
$1.$ $BC = 6 \, cm$,$AB = 5 \, cm$ और $\angle ABC = 60^{\circ}$ वाला एक $\triangle ABC$ खींचिए।
$2.$ शीर्ष $A$ के विपरीत दिशा में $BC$ के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचिए।
$3.$ रेखाखंड $BX$ पर $4$ बिंदु (क्योंकि $\frac{3}{4}$ में $4$ बड़ी संख्या है),$B_1, B_2, B_3, B_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4$ हो।
$4.$ $B_4C$ को मिलाइए और $B_3$ से होकर $B_4C$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $BC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$5.$ $C'$ से होकर $AC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को $A'$ पर प्रतिच्छेद करे। $\triangle A'BC'$ अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य:
इस रचना का औचित्य $A'B = \frac{3}{4} AB$,$BC' = \frac{3}{4} BC$,$A'C' = \frac{3}{4} AC$ सिद्ध करके दिया जा सकता है।
$\triangle A'BC'$ और $\triangle ABC$ में:
$\angle A'C'B = \angle ACB$ (संगत कोण)
$\angle A'BC' = \angle ABC$ (उभयनिष्ठ)
$\therefore \triangle A'BC' \sim \triangle ABC$ ($AA$ समरूपता कसौटी)
$\Rightarrow \frac{A'B}{AB} = \frac{BC'}{BC} = \frac{A'C'}{AC}$ ........$(1)$
$\triangle BB_3C'$ और $\triangle BB_4C$ में:
$\angle B_3BC' = \angle B_4BC$ (उभयनिष्ठ)
$\angle BB_3C' = \angle BB_4C$ (संगत कोण)
$\therefore \triangle BB_3C' \sim \triangle BB_4C$ ($AA$ समरूपता कसौटी)
$\Rightarrow \frac{BC'}{BC} = \frac{BB_3}{BB_4} = \frac{3}{4}$ ........$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{A'B}{AB} = \frac{BC'}{BC} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{3}{4}$
$A'B = \frac{3}{4} AB, BC' = \frac{3}{4} BC, A'C' = \frac{3}{4} AC$.
यह रचना का औचित्य सिद्ध करता है।