निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: int_0^pi f | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \cos^2 x}{1+\sin x} dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: $I =

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$\frac{\pi(\pi-2)}{2}$

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(A) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \cos^2 x}{1+\sin x} dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: $I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \cos^2(\pi-x)}{1+\sin(\pi-x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \cos^2 x}{1+\sin x} dx$. $I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \int_0^\pi \frac{\pi \cos^2 x}{1+\sin x} dx = \pi \int_0^\pi \frac{1-\sin^2 x}{1+\sin x} dx$. चूंकि $1-\sin^2 x = (1-\sin x)(1+\sin x)$, इसलिए: $2I = \pi \int_0^\pi (1-\sin x) dx$. $2I = \pi [x + \cos x]_0^\pi$. $2I = \pi [(\pi + \cos \pi) - (0 + \cos 0)] = \pi [(\pi - 1) - (1)] = \pi(\pi - 2)$. अतः, $I = \frac{\pi(\pi-2)}{2}$.

निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_0^\pi \frac{x \cos^2 x}{1+\sin x} dx$

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यदि $\int_{0}^{\pi/2} \sin^{4}(x) \cdot \cos^{2}(x) dx = \frac{\pi}{32}$ है,तो $\int_{0}^{\pi/2} \cos^{4}(x) \cdot \sin^{2}(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\int\limits_0^1 {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{\tan x}}{2}} \right)} dx = \alpha $ है,तो $\int\limits_0^1 {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{\tan x - 2\cot x}}{3}} \right)} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^1 f(1 - x) \, dx$ का मान निम्नलिखित में से किस समाकल के समान है?

$\int_{-1}^3\left(\cot ^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\right) d x=$

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(\sin x + \cos x) dx =$

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