समाकलन ज्ञात कीजिए: int frac{sin ^8 x-cos ^8 | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{\sin ^8 x-\cos ^8 x}{1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x} dx$. वर्गों के अंतर के सूत्र $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करके,हम अंश का ग

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$-\frac{1}{2} \sin (2 x)+C$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{\sin ^8 x-\cos ^8 x}{1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x} dx$. वर्गों के अंतर के सूत्र $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करके,हम अंश का गुणनखंड कर सकते हैं: $\sin^8 x - \cos^8 x = (\sin^4 x - \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x) = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)$. चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,यह $(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)$ में सरल हो जाता है। हम जानते हैं कि $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$. इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x)}{1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x} dx$. $I = \int (\sin^2 x - \cos^2 x) dx$. सर्वसमिका $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ का उपयोग करते हुए,हमें $\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$ प्राप्त होता है। $I = \int -\cos 2x dx = -\frac{1}{2} \sin 2x + C$.

समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \frac{\sin ^8 x-\cos ^8 x}{1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x} dx$ (जहाँ $C$ समाकलन का स्थिरांक है)।

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