सीमा का मान ज्ञात कीजिए: lim _{x} {rightarrow | vedclass

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Question

(C) माना कि दिया गया व्यंजक $L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0}\left(\frac{4 !}{x^8}\left(1-\cos \frac{x^2}{3}-\cos \frac{x^2}{4}+\cos \frac{x^2}{3} \cos

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$\frac{1}{24}$

Vedclass · Answer

(C) माना कि दिया गया व्यंजक $L = \lim _{x}$ ${ightarrow 0}\left(\frac{4 !}{x^8}\left(1-\cos \frac{x^2}{3}-\cos \frac{x^2}{4}+\cos \frac{x^2}{3} \cos \frac{x^2}{4}ight)ight)$ है।हम सीमा के अंदर के व्यंजक का गुणनखंड इस प्रकार कर सकते हैं:$L = \lim _{x ightarrow 0} \frac{4!}{x^8} (1 - \cos \frac{x^2}{3})(1 - \cos \frac{x^2}{4})$.सर्वसमिका $1 - \cos 	heta = 2 \sin^2(\frac{	heta}{2})$ का उपयोग करने पर:$1 - \cos \frac{x^2}{3} = 2 \sin^2(\frac{x^2}{6})$ और $1 - \cos \frac{x^2}{4} = 2 \sin^2(\frac{x^2}{8})$.इन मानों को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:$L = 24 	imes \lim _{x ightarrow 0} \frac{1}{x^8} 	imes 2 \sin^2(\frac{x^2}{6}) 	imes 2 \sin^2(\frac{x^2}{8})$.$L = 24 	imes 4 	imes \lim _{x}$ ${ightarrow 0} \left(\frac{\sin(\frac{x^2}{6})}{\frac{x^2}{6}}ight)^2 	imes (\frac{x^2}{6})^2 	imes \left(\frac{\sin(\frac{x^2}{8})}{\frac{x^2}{8}}ight)^2 	imes (\frac{x^2}{8})^2 	imes \frac{1}{x^8}$.चूंकि $\lim_{	heta ightarrow 0} \frac{\sin 	heta}{	heta} = 1$,इसलिए:$L = 96 	imes 1^2 	imes \frac{x^4}{36} 	imes 1^2 	imes \frac{x^4}{64} 	imes \frac{1}{x^8}$.$L = 96 	imes \frac{1}{36 	imes 64} = \frac{96}{2304} = \frac{1}{24}$.

सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\lim _{x}$ ${\rightarrow 0}\left(\frac{4 !}{x^8}\left(1-\cos \frac{x^2}{3}-\cos \frac{x^2}{4}+\cos \frac{x^2}{3} \cos \frac{x^2}{4}\right)\right)$

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यदि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3^{x^3}-\left(1-x^3\right)^{2 / 3}}{x^2 \sin x}=p+\log q$ है, तो $pq=$

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