તપાસો કે શું રોલનું પ્રમેય વિધેય $f(x) = [x]$ માટે $x \in [5, 9]$ અંતરાલમાં લાગુ પડે છે. શું તમે આ ઉદાહરણ પરથી રોલના પ્રમેયના પ્રતિપ વિધાન વિશે કંઈ કહી શકો છો?

(N/A) રોલના પ્રમેય મુજબ,વિધેય $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ માટે,જો:
$1)$ $f$ એ $[a, b]$ પર સતત હોય
$2)$ $f$ એ $(a, b)$ પર વિકલનીય હોય
$3)$ $f(a) = f(b)$ હોય
તો,$(a, b)$ માં ઓછામાં ઓછું એક એવું $c$ મળે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય.
વિધેય $f(x) = [x]$ માટે $[5, 9]$ અંતરાલમાં:
$1)$ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x]$ એ તમામ પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર અસતત છે. તેથી $f(x)$ એ $[5, 9]$ પર સતત નથી.
$2)$ $f(5) = [5] = 5$ અને $f(9) = [9] = 9$. આમ,$f(5) \neq f(9)$.
$3)$ $f(x)$ પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર અસતત હોવાથી,તે $(5, 9)$ માં તે બિંદુઓ પર વિકલનીય પણ નથી.
રોલના પ્રમેયની શરતો સંતોષાતી ન હોવાથી,આ વિધેય માટે પ્રમેય લાગુ પડતું નથી.
પ્રતિપ વિધાન વિશે: રોલના પ્રમેયનું પ્રતિપ વિધાન એવું છે કે જો $(a, b)$ માં કોઈ $c$ એવું મળે કે $f'(c) = 0$,તો $f(a) = f(b)$ થાય. આ હંમેશા સાચું નથી. ઉદાહરણ તરીકે,$f(x) = x^2$ માટે,$f'(c) = 0$ લેતા $c = 0$ મળે છે,પરંતુ $0$ ને સમાવતા ન હોય તેવા કોઈપણ અંતરાલ $[a, b]$ માટે આ પ્રતિપ વિધાન સાચું ઠરતું નથી.