x- अक्ष के ऊपर और वृत्त x^{2}+y^{2}=8x तथा पर | vedclass

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Question

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}=8x$ को $(x-4)^{2}+y^{2}=16$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अतः,वृत्त का केंद्र $(4, 0)$ है और त्रिज्या $

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$\frac{4}{3}(8+3\pi)$

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(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}=8x$ को $(x-4)^{2}+y^{2}=16$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अतः,वृत्त का केंद्र $(4, 0)$ है और त्रिज्या $4$ है।परवलय $y^{2}=4x$ के साथ इसका प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त करने पर:$x^{2}+4x=8x$$x^{2}-4x=0$$x(x-4)=0$$x=0, x=4$अतः,$x-$ अक्ष के ऊपर इन दो वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु $O(0, 0)$ और $P(4, 4)$ हैं।$x-$ अक्ष के ऊपर इन दो वक्रों के बीच घिरे क्षेत्र $OPQCO$ का आवश्यक क्षेत्रफल है:क्षेत्रफल $= \int_{0}^{4} \sqrt{4x} \, dx + \int_{4}^{8} \sqrt{16-(x-4)^{2}} \, dx$$= 2 \int_{0}^{4} x^{1/2} \, dx + \int_{0}^{4} \sqrt{4^{2}-t^{2}} \, dt$ (जहाँ $t = x-4$)$= 2 	imes \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{0}^{4} + [\frac{t}{2} \sqrt{16-t^{2}} + \frac{16}{2} \sin^{-1}(\frac{t}{4})]_{0}^{4}$$= \frac{4}{3} (8) + [0 + 8 \sin^{-1}(1) - 0]$$= \frac{32}{3} + 8(\frac{\pi}{2}) = \frac{32}{3} + 4\pi = \frac{4}{3}(8+3\pi)$

$x-$ अक्ष के ऊपर और वृत्त $x^{2}+y^{2}=8x$ तथा परवलय $y^{2}=4x$ के भीतर स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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