अवकल समीकरण (e^{y-x}) dy = (e^x - e^y) dx का | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(e^{y-x}) dy = (e^x - e^y) dx$ दोनों पक्षों को $e^x$ से गुणा करने पर: $e^y dy = (e^{2x} - e^x e^y) dx$ पदों को व्यवस्थित कर

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$e^y e^{e^x} = e^x e^{e^x} - e^{e^x} + c$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(e^{y-x}) dy = (e^x - e^y) dx$ दोनों पक्षों को $e^x$ से गुणा करने पर: $e^y dy = (e^{2x} - e^x e^y) dx$ पदों को व्यवस्थित करने पर: $e^y \frac{dy}{dx} + e^x e^y = e^{2x}$ मान लीजिए $z = e^y$,तब $\frac{dz}{dx} = e^y \frac{dy}{dx}$. समीकरण इस प्रकार होगा: $\frac{dz}{dx} + e^x z = e^{2x}$. यह $\frac{dz}{dx} + P(x)z = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = e^x$ और $Q(x) = e^{2x}$ है। समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int e^x dx} = e^{e^x}$. हल $z \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ है। $z \cdot e^{e^x} = \int e^{2x} \cdot e^{e^x} dx + c$. मान लीजिए $u = e^x$,तब $du = e^x dx$. $z \cdot e^{e^x} = \int u \cdot e^u du + c$. खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int u e^u du = u e^u - e^u + c$. $z = e^y$ और $u = e^x$ वापस रखने पर: $e^y e^{e^x} = e^x e^{e^x} - e^{e^x} + c$.

अवकल समीकरण $(e^{y-x}) dy = (e^x - e^y) dx$ का हल ज्ञात कीजिए।

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