मूलबिंदु और $(5, -2, 3)$ से होकर जाने वाली रेखाओं के सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए।

(A) आवश्यक रेखा मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ और बिंदु $(5, -2, 3)$ से होकर गुजरती है।
मूलबिंदु का स्थिति सदिश $\vec{a} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = \vec{0}$ है।
$(0, 0, 0)$ और $(5, -2, 3)$ से गुजरने वाली रेखा के दिक अनुपात $(5-0, -2-0, 3-0) = (5, -2, 3)$ हैं।
अतः,रेखा सदिश $\vec{b} = 5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ के समांतर है।
एक बिंदु जिसका स्थिति सदिश $\vec{a}$ है और जो $\vec{b}$ के समांतर है,उस रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\vec{r} = \vec{0} + \lambda(5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = \lambda(5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k})$ प्राप्त होता है,जहाँ $\lambda \in R$ है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और $(a, b, c)$ दिक अनुपात वाली रेखा का कार्तीय समीकरण $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ होता है।
$(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)$ और $(a, b, c) = (5, -2, 3)$ रखने पर,हमें $\frac{x-0}{5} = \frac{y-0}{-2} = \frac{z-0}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,कार्तीय समीकरण $\frac{x}{5} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{3}$ है।