x in left(-frac{pi}{2}, frac{pi}{2}right) માટ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ સંકલન $y(x) = \int \frac{\frac{1}{\sin x} + \sin x}{\frac{1}{\sin x \cos x} + \frac{\sin^3 x}{\cos x}} \, dx$ છે. સંકલ્યનું સાદું રૂપ આપતા: $

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1}\left(-\frac{1}{2}ight)$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ સંકલન $y(x) = \int \frac{\frac{1}{\sin x} + \sin x}{\frac{1}{\sin x \cos x} + \frac{\sin^3 x}{\cos x}} \, dx$ છે. સંકલ્યનું સાદું રૂપ આપતા: $y(x) = \int \frac{\frac{1+\sin^2 x}{\sin x}}{\frac{1+\sin^4 x}{\sin x \cos x}} \, dx = \int \frac{(1+\sin^2 x) \cos x}{1+\sin^4 x} \, dx$. ધારો કે $\sin x = t$,તેથી $\cos x \, dx = dt$. $y(t) = \int \frac{1+t^2}{1+t^4} \, dt = \int \frac{1 + \frac{1}{t^2}}{t^2 + \frac{1}{t^2}} \, dt = \int \frac{1 + \frac{1}{t^2}}{(t - \frac{1}{t})^2 + 2} \, dt$. ધારો કે $u = t - \frac{1}{t}$,તેથી $du = (1 + \frac{1}{t^2}) \, dt$. $y(u) = \int \frac{du}{u^2 + 2} = \frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{2}}ight) + C = \frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1}\left(\frac{t - \frac{1}{t}}{\sqrt{2}}ight) + C$. જ્યારે $x ightarrow \frac{\pi}{2}$,ત્યારે $t ightarrow 1$,તેથી $u ightarrow 0$. આપેલ છે કે $\lim_{x ightarrow (\frac{\pi}{2})^-} y(x) = 0$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1}(0) + C = 0 \implies C = 0$. જ્યારે $x = \frac{\pi}{4}$,ત્યારે $t = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. $u = \frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} = \frac{1-2}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. આમ,$y\left(\frac{\pi}{4}ight) = \frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1}\left(\frac{-1/\sqrt{2}}{\sqrt{2}}ight) = \frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1}\left(-\frac{1}{2}ight)$.

Similar Questions

$\int \frac{x}{\sqrt{4 - x^4}} \, dx = $

$\int \frac{1}{x \cos^2(1 + \log x)} \, dx = $

$\int \frac{d x}{4+5 \cos x} = $

$\int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin 2x} dx =$

$\int \frac{d x}{\left(e^x+e^{-x}\right)^2}=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module