किन्हीं दो सदिशों vec{a} और vec{b} के लिए,हमा | vedclass

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Question

(A) असमिका $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ को कोशी-श्वार्ट्ज असमिका के रूप में जाना जाता है।स्थिति $1$: यदि $\vec{a} = \vec{0}$ या

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सत्य

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(A) असमिका $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ को कोशी-श्वार्ट्ज असमिका के रूप में जाना जाता है।स्थिति $1$: यदि $\vec{a} = \vec{0}$ या $\vec{b} = \vec{0}$ है,तो $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = 0$ और $|\vec{a}| |\vec{b}| = 0$ होता है। अतः,$0 \leq 0$ सत्य है।स्थिति $2$: यदि $\vec{a} 
eq \vec{0}$ और $\vec{b} 
eq \vec{0}$ है,तो हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos 	heta$,जहाँ $	heta$ सदिशों के बीच का कोण है।दोनों पक्षों का निरपेक्ष मान लेने पर,हमें $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\cos 	heta|$ प्राप्त होता है।चूंकि कोसाइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए हमारे पास $|\cos 	heta| \leq 1$ है।$|\vec{a}| |\vec{b}|$ (जो धनात्मक है) से गुणा करने पर,हमें $|\vec{a}| |\vec{b}| |\cos 	heta| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ प्राप्त होता है।अतः,$|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ हमेशा सत्य है।

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