प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,सिद्ध कीजिए कि $7^{n}-3^{n}$ संख्या $4$ से विभाज्य है।

(N/A) माना कथन $P(n): 7^{n} - 3^{n}$ संख्या $4$ से विभाज्य है।
चरण $1$: $n = 1$ के लिए जाँच करें।
$P(1): 7^{1} - 3^{1} = 4,$ जो $4$ से विभाज्य है। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है।
$P(k): 7^{k} - 3^{k} = 4d,$ जहाँ $d \in \mathbb{N}.$
चरण $3$: सिद्ध करें कि $P(k+1)$ सत्य है।
$7^{k+1} - 3^{k+1} = 7 \cdot 7^{k} - 3 \cdot 3^{k}$
$= 7 \cdot 7^{k} - 7 \cdot 3^{k} + 7 \cdot 3^{k} - 3 \cdot 3^{k}$
$= 7(7^{k} - 3^{k}) + (7 - 3) \cdot 3^{k}$
$= 7(4d) + 4 \cdot 3^{k}$
$= 4(7d + 3^{k})$
चूँकि $4(7d + 3^{k})$ संख्या $4$ का एक गुणज है,इसलिए $P(k+1)$ सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $7^{n} - 3^{n}$ संख्या $4$ से विभाज्य है।