किसी वास्तविक संख्या $\lambda$ के लिए,यदि $\vec{a}=3 \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}$ और $\vec{b}=\lambda \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$ को दो भुजाओं के रूप में रखने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{195}}{2}$ है,तो $\lambda$ के भिन्न संभावित मानों की संख्या है

यदि $\vec{a} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$, $|\vec{b}| = 6$ और $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{6}$ है, तो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ को दो भुजाओं के रूप में रखने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या होगा?

मान लीजिए कि सदिश $\overline{PQ}, \overline{QR}, \overline{RS}, \overline{ST}, \overline{TU}$ और $\overline{UP}$ एक षट्भुज की भुजाओं को दर्शाते हैं।
कथन-$1$: $\overline{PQ} \times (\overline{RS} + \overline{ST}) \neq \vec{0}$
कथन-$2$: $\overline{PQ} \times \overline{RS} = \vec{0}$ और $\overline{PQ} \times \overline{ST} = \vec{0}$

मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \vec{c}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$ और $\vec{d}=-4\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k}$ है। यदि $\vec{d}=x(\vec{b} \times \vec{c})-\frac{7}{9}(\vec{c} \times \vec{a})+z(\vec{a} \times \vec{b})$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना कि $\vec{p}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{q}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ दो सदिश हैं। यदि एक सदिश $\vec{r}=(\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+\gamma \hat{k})$ सदिशों $(\vec{p}+\vec{q})$ और $(\vec{p}-\vec{q})$ प्रत्येक के लंबवत है,और $|\vec{r}|=\sqrt{3}$ है,तो $|\alpha|+|\beta|+|\gamma|$ का मान $.....$ है।

सिद्ध कीजिए कि $\Delta ABC$ में,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$,जहाँ $a, b, c$ क्रमशः शीर्ष $A, B, C$ के सम्मुख भुजाओं के परिमाण को दर्शाते हैं।