दिया गया है f(x) = 4 - (frac{1}{2} - x)^{2/3} | vedclass

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Question

(A) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के लिए एक फलन का $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय होना आवश्यक है।$1$. $f(x) = 4 - (\frac{1}{2} - x)^{2

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$f, g, h$

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(A) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के लिए एक फलन का $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय होना आवश्यक है।$1$. $f(x) = 4 - (\frac{1}{2} - x)^{2/3}$ के लिए: अवकलज $f'(x) = \frac{2}{3(\frac{1}{2} - x)^{1/3}}$ है। चूँकि $x = \frac{1}{2}$ अंतराल $(0, 1)$ में स्थित है,इसलिए $f'(x)$ बिंदु $x = \frac{1}{2}$ पर अपरिभाषित है। अतः,$f$ अंतराल $(0, 1)$ पर अवकलनीय नहीं है।$2$. $g(x)$ के लिए: $x = 0$ पर,$\lim_{x 	o 0^+} g(x) = 0$ है,लेकिन $g(0) = 1$ है। चूँकि $\lim_{x 	o 0^+} g(x) 
eq g(0)$,इसलिए $g$ बिंदु $x = 0$ पर सतत नहीं है। अतः,$g$ अंतराल $[0, 1]$ पर सतत नहीं है।$3$. $h(x) = \{x\}$ के लिए: भिन्नात्मक भाग फलन प्रत्येक पूर्णांक पर असतत होता है। $[0, 1]$ में,यह $x = 0$ और $x = 1$ पर असतत है। अतः,$h$ अंतराल $[0, 1]$ पर सतत नहीं है।$4$. $k(x) = 5^{\log_2(x + 3)} = (x + 3)^{\log_2 5}$ अंतराल $[0, 1]$ पर सतत और अवकलनीय है।अतः,$LMVT$ $f, g,$ और $h$ पर लागू नहीं होता है।

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यदि $f$ और $g$ अंतराल $[0, 1]$ में अवकलनीय फलन हैं जो $f(0) = 2$,$g(1) = 2$,$g(0) = 0$,और $f(1) = 6$ को संतुष्ट करते हैं,तो किसी $c \in (0, 1)$ के लिए:

माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) में,$f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)$ है। यदि $a = 4$,$b = 9$ और $f(x) = \sqrt{x}$ है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a, b, c \in \mathbb{R}$ और $3a + 5b + 15c = 0$ को संतुष्ट करते हैं,तो समीकरण $ax^4 + bx^2 + c = 0$ के पास:

यदि फलन $f(x) = x(x+3) e^{-\frac{x}{2}}$,$[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

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