જો $a, b, c$ એ શૂન્યતર સંકર સંખ્યાઓ હોય જે $a^2 + b^2 + c^2 = 0$ નું સમાધાન કરે છે અને $\left| \begin{array}{ccc} b^2 + c^2 & ab & ac \\ ab & c^2 + a^2 & bc \\ ac & bc & a^2 + b^2 \end{array} \right| = k a^2 b^2 c^2$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

મેટ્રિક્સ $A = \begin{bmatrix} 0 & 2x & 2x \\ 2y & y & -y \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$ અને $x \neq y$,જેના માટે $A^T A = 3I_3$ હોય,તેવા મેટ્રિક્સની કુલ સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $A_1, A_2, A_3$ એ સમાન સામાન્ય તફાવત $d$ ધરાવતી ત્રણ સમાંતર શ્રેણીઓ ($A$.$P$.) છે અને તેમના પ્રથમ પદો અનુક્રમે $A, A+1, A+2$ છે. ધારો કે $a, b, c$ એ $A_1, A_2, A_3$ ના અનુક્રમે $7^{\text{th}}, 9^{\text{th}}, 17^{\text{th}}$ પદો છે,જેથી $\left|\begin{array}{lll} a & 7 & 1 \\ 2b & 17 & 1 \\ c & 17 & 1\end{array}\right|+70=0$ થાય. જો $a=29$ હોય,તો જેનું પ્રથમ પદ $c-a-b$ અને સામાન્ય તફાવત $\frac{d}{12}$ હોય તેવી સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $........$ છે.

ધારો કે $a, b, c \in \mathbb{R}$ બધા શૂન્યતર છે અને $a^{3}+b^{3}+c^{3}=2$ નું સમાધાન કરે છે. જો શ્રેણિક $A=\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{bmatrix}$ એ $A^{T} A=I$ નું સમાધાન કરે,તો $abc$ ની કિંમત શું હોઈ શકે?

ધારો કે સદિશો $x_{1}, x_{2}$ અને $x_{3}$ એ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $Ax = b$ ના ઉકેલો છે,જ્યારે જમણી બાજુનો સદિશ $b$ અનુક્રમે $b_{1}, b_{2}$ અને $b_{3}$ બરાબર હોય. જો $x_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, x_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, x_{3} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, b_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, b_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$ અને $b_{3} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$ હોય,તો $A$ નો નિશ્ચાયક કેટલો થાય?

જો $AA^T = I$ અને $C$ એ વિસંમિત શ્રેણિક (skew-symmetric matrix) હોય,તો $((A^T CA)^{50})^T$ બરાબર શું થાય?