ધારો કે $a, b, c \in \mathbb{R}$ બધા શૂન્યતર છે અને $a^{3}+b^{3}+c^{3}=2$ નું સમાધાન કરે છે. જો શ્રેણિક $A=\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{bmatrix}$ એ $A^{T} A=I$ નું સમાધાન કરે,તો $abc$ ની કિંમત શું હોઈ શકે?

$A$ અને $B$ એવા બે ચોરસ શ્રેણિકો છે કે જેથી $A^2B = BA$ થાય. જો $(AB)^{10} = A^K B^{10}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A$ એ $2$ ક્રમનો ચોરસ શ્રેણિક છે જેથી $|A|=2$ અને તેના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $-3$ છે. જો $A^2+xA+yI=0$ નું સમાધાન કરતા બિંદુઓ $(x, y)$ એક અતિવલય પર આવેલા હોય,જેની અનુપ્રસ્થ અક્ષ $x$-અક્ષને સમાંતર હોય,ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ હોય અને નાભિલંબની લંબાઈ $\ell$ હોય,તો $e^4+\ell^4$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $|M|$ એ ચોરસ શ્રેણિક $M$ નો નિશ્ચાયક દર્શાવે છે. ધારો કે $g:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow R$ એ $g(\theta)=\sqrt{f(\theta)-1}+\sqrt{f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-1}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે,જ્યાં $f(\theta)=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}\sin \pi & \cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & \tan \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) & -\cos \frac{\pi}{2} & \log _e\left(\frac{4}{\pi}\right) \\ \cot \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & \log _e\left(\frac{\pi}{4}\right) & \tan \pi\end{array}\right|$. ધારો કે $p(x)$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે જેના બીજ વિધેય $g(\theta)$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો છે,અને $p(2)=2-\sqrt{2}$. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $TRUE$ છે?
$(A) \ p \left(\frac{3+\sqrt{2}}{4}\right) < 0$
$(B) \ p \left(\frac{1+3 \sqrt{2}}{4}\right)>0$
$(C) \ p \left(\frac{5 \sqrt{2}-1}{4}\right)>0$
$(D) \ p \left(\frac{5-\sqrt{2}}{4}\right) < 0$

ધારો કે $A$ અને $B$ કોઈપણ બે $n \times n$ શ્રેણિકો છે જેથી નીચેની શરતો સંતોષાય છે: $A B=B A$ અને એવા ધન પૂર્ણાંકો $k$ અને $l$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $A^k=I$ (એકમ શ્રેણિક) અને $B^l=0$ (શૂન્ય શ્રેણિક) થાય. તો,

જો $\begin{bmatrix} -1 & 2 & b \\ a & 5 & 6 \\ 3 & c & 7 \end{bmatrix}$ એ સંમિત શ્રેણિક હોય, તો $\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} =$