જો $c$ એ એવો બિંદુ હોય કે જેના પર વિધેય $f(x) = \log_{e}\left(\frac{x^{2}+\alpha}{7x}\right)$ માટે અંતરાલ $[3, 4]$ માં રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે,જ્યાં $\alpha \in R$,તો $f''(c)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f^{\prime}(0)=-3$ અને $x$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે $f^{\prime}(x) \leq 5$ છે. તો $f(2)$ ની શક્ય મહત્તમ કિંમત કેટલી હોઈ શકે?

ધારો કે $a, b, c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $2a + 3b + 6c = 0$ અને $g(x) = ax^2 + bx + c = 0$ ને અંતરાલ $(1, 2)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે. જો વિધેય $f: [1, 2] \rightarrow \mathbb{R}$ માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પડતું હોય અને $f(x)$ એ $g(x)$ નું પ્રતિવિધેય (primitive) હોય,તો $f(x) = $

ધારો કે $f$ અને $g$ એ $(-2, 2)$ પર બે વાર વિકલનીય યુગ્મ વિધેયો છે,જેથી $f(\frac{1}{4}) = 0, f(\frac{1}{2}) = 0, f(1) = 1$ અને $g(\frac{3}{4}) = 0, g(1) = 2$ થાય. તો $(-2, 2)$ માં $f(x)g''(x) + f'(x)g'(x) = 0$ ના ઉકેલોની ન્યૂનતમ સંખ્યા કેટલી થાય?

જો રોલનું પ્રમેય વિધેય $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ માટે અંતરાલ $[-1, 1]$ માં બિંદુ $c = \frac{1}{2}$ આગળ લાગુ પડતું હોય,તો $2a + b$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f$ એ $(1,6)$ પર બે વાર વિકલનીય વિધેય છે. જો $f(2)=8$,$f'(2)=5$,$f'(x) \geq 1$ અને $f''(x) \geq 4$ બધા $x \in (1,6)$ માટે હોય,તો: