જો $y=A \sin x+B \cos x$ હોય,તો સાબિત કરો કે $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$.

આપેલ છે કે $y = A \sin x + B \cos x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = A \cos x - B \sin x$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(A \cos x - B \sin x) = -A \sin x - B \cos x$.
આપણે પદમાંથી $-1$ સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -(A \sin x + B \cos x)$.
કારણ કે $y = A \sin x + B \cos x$,આપણે સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકીએ છીએ:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -y$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + y = 0$.
આમ,વિધાન સાબિત થાય છે.