જો $y = e^{a \cos^{-1} x}$,$-1 \le x \le 1$ હોય,તો સાબિત કરો કે $(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} - a^{2} y = 0$.

(N/A) આપેલ છે કે,$y = e^{a \cos^{-1} x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $\ln y = a \cos^{-1} x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = a \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{dy}{dx} = -\frac{ay}{\sqrt{1-x^2}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{a^2 y^2}{1-x^2}$.
ગોઠવતા,આપણને મળે $(1-x^2) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = a^2 y^2$.
ગુણાકારના નિયમ અને સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા:
$(1-x^2) \cdot 2 \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d^2 y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \cdot (-2x) = a^2 \cdot 2y \cdot \frac{dy}{dx}$.
બંને બાજુ $2 \frac{dy}{dx}$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\frac{dy}{dx} \neq 0$),આપણને મળે $(1-x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} = a^2 y$.
આમ,$(1-x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} - a^2 y = 0$. આમ સાબિત થાય છે.