यदि f(x + y) = f(x)f(y) और sum_{x=1}^{infty} | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x + y) = f(x)f(y)$ है।$x = 1, y = 1$ के लिए,$f(2) = f(1)^2$ प्राप्त होता है।$x = 2, y = 1$ के लिए,$f(3) = f(2)f(1) = f(1)^3

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$\frac{4}{9}$

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(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x + y) = f(x)f(y)$ है।$x = 1, y = 1$ के लिए,$f(2) = f(1)^2$ प्राप्त होता है।$x = 2, y = 1$ के लिए,$f(3) = f(2)f(1) = f(1)^3$ प्राप्त होता है।सामान्यतः,$f(x) = f(1)^x$ होता है।अनंत गुणोत्तर श्रेणी $\sum_{x=1}^{\infty} f(x) = 2$ दी गई है,अतः $f(1) + f(1)^2 + f(1)^3 + \dots = 2$ है।यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = f(1)$ और सार्व अनुपात $r = f(1)$ है।श्रेणी का योग $\frac{a}{1 - r} = 2$ सूत्र के अनुसार,$\frac{f(1)}{1 - f(1)} = 2$ होगा।$f(1) = 2 - 2f(1) \implies 3f(1) = 2 \implies f(1) = \frac{2}{3}$।अब,हमें $\frac{f(4)}{f(2)}$ का मान ज्ञात करना है।चूँकि $f(x) = f(1)^x$,इसलिए $\frac{f(4)}{f(2)} = \frac{f(1)^4}{f(1)^2} = f(1)^2$ होगा।$f(1) = \frac{2}{3}$ रखने पर,$\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ प्राप्त होता है।

यदि $f(x + y) = f(x)f(y)$ और $\sum_{x=1}^{\infty} f(x) = 2$ है,जहाँ $x, y \in N$ और $N$ सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है,तो $\frac{f(4)}{f(2)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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