यदि n एक विषम पूर्णांक है,तो n^{2}-1 ........ | vedclass

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Question

(D) किसी भी विषम पूर्णांक $n$ को $2k+1$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।वैकल्पिक रूप से,किसी भी विषम पूर्णांक $n$ को $n = 4k

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$8$

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(D) किसी भी विषम पूर्णांक $n$ को $2k+1$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।वैकल्पिक रूप से,किसी भी विषम पूर्णांक $n$ को $n = 4k \pm 1$ के रूप में दर्शाया जा सकता है या मान रखकर जांचा जा सकता है।मान लीजिए $n = 1$,तो $n^{2}-1 = 1^{2}-1 = 0$ ($8$ से विभाज्य है)।मान लीजिए $n = 3$,तो $n^{2}-1 = 3^{2}-1 = 9-1 = 8$ ($8$ से विभाज्य है)।मान लीजिए $n = 5$,तो $n^{2}-1 = 5^{2}-1 = 25-1 = 24$ ($8$ से विभाज्य है)।सामान्य प्रमाण: चूंकि $n$ विषम है,$n = 2k+1$।$n^{2}-1 = (2k+1)^{2}-1 = 4k^{2}+4k+1-1 = 4k(k+1)$।चूंकि $k(k+1)$ दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,यह हमेशा एक सम संख्या होती है,अर्थात $k(k+1) = 2m$।इसलिए,$n^{2}-1 = 4(2m) = 8m$।अतः,$n^{2}-1$ हमेशा $8$ से विभाज्य है।

यदि $n$ एक विषम पूर्णांक है,तो $n^{2}-1$ ........... से विभाज्य है।

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सिद्ध कीजिए कि $n, n+2, n+4$ में से केवल एक ही $3$ से विभाज्य है,जहाँ $n$ कोई भी धनात्मक पूर्णांक है।

किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $5^n$ का अंतिम अंक हमेशा . . . . . . होता है।

प्रत्येक विषम पूर्णांक $a$,$\ldots \ldots \ldots \ldots$ के रूप में होता है,जहाँ $k \in Z$ है।

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