यदि frac{dy}{dx} = frac{2^x y + 2^y cdot 2^x} | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{2^x(y + 2^y)}{2^x(1 + 2^y \ln 2)}$.अंश और हर से $2^x$ को हटाने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y + 2^y

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$(1, 2)$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{2^x(y + 2^y)}{2^x(1 + 2^y \ln 2)}$.अंश और हर से $2^x$ को हटाने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y + 2^y}{1 + 2^y \ln 2}$ प्राप्त होता है।चरों को अलग करने पर: $\frac{1 + 2^y \ln 2}{y + 2^y} dy = dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1 + 2^y \ln 2}{y + 2^y} dy = \int dx$.माना $u = y + 2^y$,तब $du = (1 + 2^y \ln 2) dy$। अतः,$\int \frac{1}{u} du = x + C$.$\ln|y + 2^y| = x + C$.चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर: $\ln|0 + 2^0| = 0 + C \Rightarrow \ln(1) = C \Rightarrow C = 0$.अतः,$x = \ln(y + 2^y)$.$y = 1$ के लिए,$x = \ln(1 + 2^1) = \ln(3)$.चूँकि $e \approx 2.718$ और $e^2 \approx 7.389$,और $e अतः,$x \in (1, 2)$.

यदि $\frac{dy}{dx} = \frac{2^x y + 2^y \cdot 2^x}{2^x + 2^{x+y} \log_e 2}$ और $y(0) = 0$ है,तो $y = 1$ के लिए $x$ का मान किस अंतराल में स्थित है?

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