જો y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ x^{2} dy + (y - frac{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x^{2} dy + (y - \frac{1}{x}) dx = 0$ છે.$x^{2} dx$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{3}}$ મળે છે.આ

Vedclass · Accepted Answer

$3 - e$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x^{2} dy + (y - \frac{1}{x}) dx = 0$ છે.$x^{2} dx$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{3}}$ મળે છે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x^{2}}$ અને $Q(x) = \frac{1}{x^{3}}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x^{2}} dx} = e^{-\frac{1}{x}}$.ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.$y e^{-\frac{1}{x}} = \int \frac{1}{x^{3}} e^{-\frac{1}{x}} dx + C$.ધારો કે $t = -\frac{1}{x}$,તો $dt = \frac{1}{x^{2}} dx$ અને $\frac{1}{x} = -t$.$y e^{-\frac{1}{x}} = \int (-t) e^{t} dt + C = -(t e^{t} - e^{t}) + C = e^{t}(1 - t) + C$.$t = -\frac{1}{x}$ મૂકતા,$y e^{-\frac{1}{x}} = e^{-\frac{1}{x}}(1 + \frac{1}{x}) + C$.$y(1) = 1$ આપેલ છે,તેથી $1 \cdot e^{-1} = e^{-1}(1 + 1) + C \implies e^{-1} = 2e^{-1} + C \implies C = -e^{-1}$.આમ,$y e^{-\frac{1}{x}} = e^{-\frac{1}{x}}(1 + \frac{1}{x}) - e^{-1}$.$x = \frac{1}{2}$ માટે,$y e^{-2} = e^{-2}(1 + 2) - e^{-1} = 3e^{-2} - e^{-1}$.$e^{-2}$ વડે ભાગતા,$y = 3 - e^{-1} \cdot e^{2} = 3 - e$.

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x^{2} dy + (y - \frac{1}{x}) dx = 0$ ($x > 0$ માટે) નો ઉકેલ વક્ર હોય અને $y(1) = 1$ હોય,તો $y(\frac{1}{2})$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

નીચે આપેલ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ શોધો:
$\frac{dy}{dx} + y \cdot \csc^2 (x) = \csc^2 (x) \cdot \cot (x)$

વિકલ સમીકરણ $y dx + (x - y^2) dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x^2+2) dy + 2xy dx = e^x(x^2+2) dx$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

$25 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-10 \frac{d y}{d x}+y=0$, $y(0)=1, y(1)=2 e^{1 / 5}$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module