જો $m$ અને $n$ અનુક્રમે વિધેય $f(x) = \int_{0}^{x^{2}} \frac{t^{2}-5t+4}{2+e^{t}} dt$ ના સ્થાનિક મહત્તમ અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુઓની સંખ્યા હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(m, n)$ બરાબર શું થાય?

વિધેય $f(x) = x^4(12\ln x - 7)$ માટે નીચેના જોડકાં જોડો:

સ્તંભ-$I$	સ્તંભ-$II$
$(A)$ જો $(a, b)$ નતિપરિવર્તન બિંદુ હોય,તો $a - b$ બરાબર	$(P)$ $3$
$(B)$ જો $e^t$ ન્યૂનતમ બિંદુ હોય,તો $12t$ બરાબર	$(Q)$ $1$
$(C)$ જો આલેખ $(d, e)$ પર અંતર્ગોળ અધોમુખી હોય,તો $d + 3e$ બરાબર	$(R)$ $4$
$(D)$ જો આલેખ $(p, \infty)$ પર અંતર્ગોળ ઉર્ધ્વમુખી હોય,તો $p$ બરાબર	$(S)$ $8$

ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=\begin{cases} \frac{6x+\sin x}{2x+\sin x} & \text{જો } x \neq 0 \\ \frac{7}{3} & \text{જો } x=0 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું છે?
$(A)$ બિંદુ $x=0$ એ $f$ નું સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે
$(B)$ બિંદુ $x=0$ એ $f$ નું સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે
$(C)$ અંતરાલ $[\pi, 6\pi]$ માં $f$ ના સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુઓની સંખ્યા $3$ છે
$(D)$ અંતરાલ $[2\pi, 4\pi]$ માં $f$ ના સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુઓની સંખ્યા $1$ છે

ધારો કે $2$ અને $4$ બાજુઓ ધરાવતો લંબચોરસ $ABCD$ એ બીજા લંબચોરસ $PQRS$ માં એવી રીતે અંતર્ગત છે કે જેથી લંબચોરસ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ લંબચોરસ $PQRS$ ની બાજુઓ પર આવે. જ્યારે લંબચોરસ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોય ત્યારે તેની બાજુઓ $a$ અને $b$ હોય,તો $(a+b)^2$ ની કિંમત શોધો:

$f(x) = 3 + |x|, x \in R$ દ્વારા આપવામાં આવેલા વિધેય $f$ ની સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

સાબિત કરો કે વિધેય $h(x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ ને કોઈ સ્થાનીય મહત્તમ કે સ્થાનીય ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.