यदि y=y(x) अवकल समीकरण 8 sqrt{x}(sqrt{9+sqrt{ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $8 \sqrt{x}(\sqrt{9+\sqrt{x}}) dy = \frac{1}{\sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt{x}}}} dx$. पदों को व्यवस्थित करने पर: $dy = \frac{dx}{8 \

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$3$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $8 \sqrt{x}(\sqrt{9+\sqrt{x}}) dy = \frac{1}{\sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt{x}}}} dx$. पदों को व्यवस्थित करने पर: $dy = \frac{dx}{8 \sqrt{x} \sqrt{9+\sqrt{x}} \sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt{x}}}}$. माना $u = 4+\sqrt{9+\sqrt{x}}$. तब $du = \frac{1}{2\sqrt{9+\sqrt{x}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \frac{dx}{4\sqrt{x}\sqrt{9+\sqrt{x}}}$. इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $dy = \frac{1}{2} \cdot \frac{du}{\sqrt{u}}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $y = \int \frac{1}{2\sqrt{u}} du = \sqrt{u} + C$. $u$ का मान वापस रखने पर: $y = \sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt{x}}} + C$. चूंकि $y(0) = \sqrt{7}$,इसलिए $\sqrt{4+\sqrt{9+0}} + C = \sqrt{7} \Rightarrow \sqrt{4+3} + C = \sqrt{7} \Rightarrow \sqrt{7} + C = \sqrt{7} \Rightarrow C = 0$. अतः,$y = \sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt{x}}}$. $x=256$ के लिए,$y(256) = \sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt{256}}} = \sqrt{4+\sqrt{9+16}} = \sqrt{4+\sqrt{25}} = \sqrt{4+5} = \sqrt{9} = 3$.

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $8 \sqrt{x}(\sqrt{9+\sqrt{x}}) dy = (\sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt{x}}})^{-1} dx$ को $x>0$ के लिए संतुष्ट करता है और $y(0)=\sqrt{7}$ है,तो $y(256)$ ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए कि $y = y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (1+x+x^2)(1-y+y^2)$ का हल है, जहाँ प्रारंभिक स्थिति $y(0) = \frac{1}{2}$ है। तो $(2y(1) - 1)$ का मान है:

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