यदि S, y=e^{-x^2}, y=0, x=0 और x=1 द्वारा घिर | vedclass

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Question

(B) क्षेत्रफल $S$ को समाकलन $S = \int_0^1 e^{-x^2} dx$ द्वारा दिया जाता है।$1$. $x \in [0, 1]$ के लिए,हमारे पास $0 \leq x^2 \leq x \leq 1$ है। अतः,$-x

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$(A, B, D)$

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(B) क्षेत्रफल $S$ को समाकलन $S = \int_0^1 e^{-x^2} dx$ द्वारा दिया जाता है।$1$. $x \in [0, 1]$ के लिए,हमारे पास $0 \leq x^2 \leq x \leq 1$ है। अतः,$-x^2 \geq -x$,जिसका अर्थ है $e^{-x^2} \geq e^{-x}$।दोनों पक्षों का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर:$S = \int_0^1 e^{-x^2} dx \geq \int_0^1 e^{-x} dx = [-e^{-x}]_0^1 = 1 - \frac{1}{e}$.चूंकि $1 - \frac{1}{e} \approx 0.633$ और $\frac{1}{e} \approx 0.367$,इसलिए $S \geq 1 - \frac{1}{e} > \frac{1}{e}$। अतः,$(A)$ और $(B)$ सही हैं।$2$. $\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $1-\frac{1}{\sqrt{2}}$ चौड़ाई वाले दो आयतों के साथ ऊपरी रीमान योग का उपयोग करने पर:फलन $f(x) = e^{-x^2}$ अंतराल $[0, 1]$ पर ह्रासमान है।$S = \int_0^{1/\sqrt{2}} e^{-x^2} dx + \int_{1/\sqrt{2}}^1 e^{-x^2} dx$.प्रत्येक उप-अंतराल पर $f(x)$ के अधिकतम मान का उपयोग करने पर:$S \leq \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) f(0) + \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$S \leq \frac{1}{\sqrt{2}}(1) + \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) e^{-(1/\sqrt{2})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \frac{1}{\sqrt{e}}$.अतः,$(D)$ सही है।

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