જો $x$ વાસ્તવિક હોય, તો $\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમત વચ્ચેનો તફાવત કેટલો થાય?

જો સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ હોય,અને $\alpha + \beta$,$\alpha^2 + \beta^2$,તથા $\alpha^3 + \beta^3$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય,અને $\Delta = b^2 - 4ac$ હોય,તો નીચેનામાંથી શું સાચું છે?

સમીકરણ $\left(x^4+1\right)=\frac{1}{a}(x+1)^4$ એ એક વ્યસ્ત સમીકરણ (reciprocal equation) છે:

ધારો કે $a, b, c, d$ એ $-5$ અને $5$ ની વચ્ચેની વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $|a|=\sqrt{4-\sqrt{5-a}}$,$|b|=\sqrt{4+\sqrt{5-b}}$,$|c|=\sqrt{4-\sqrt{5+c}}$,અને $|d|=\sqrt{4+\sqrt{5+d}}$ થાય. તો,ગુણાકાર $abcd$ શું થશે?

ધારો કે $[r]$ એ $r$ થી વધુ ન હોય તેવો સૌથી મોટો પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. સમીકરણ $3 x^2 + 6 x + 5 + \alpha (x^2 + 2 x + 2) = 0$ ના બીજ સંકર સંખ્યાઓ હોય જ્યારે $\alpha > L$ અથવા $\alpha < M$ હોય. જો $(L - M)$ ન્યૂનતમ હોય,તો $[r]$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધો જેથી તમામ $y \in R$ માટે $L y^2 + M y + r < 0$ થાય.

$x \in R$ માટે, $\frac{x^2-6x+5}{x^2+2x+1}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.