यदि y=tan ^{-1}left(frac{5 x+1}{3-x-6 x^2}rig | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $y=	an ^{-1}\left(\frac{5 x+1}{3-x-6 x^2}ight)$.हम प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangent) फलन के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकत

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$\frac{3}{9 x^2+12 x+5}+\frac{1}{2 x^2-2 x+1}$

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(A) दिया गया है $y=	an ^{-1}\left(\frac{5 x+1}{3-x-6 x^2}ight)$.हम प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangent) फलन के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:$y=	an ^{-1}\left(\frac{(3 x+2)+(2 x-1)}{1-(3 x+2)(2 x-1)}ight)$.सर्वसमिका $	an ^{-1}(A)+	an ^{-1}(B)=	an ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}ight)$ का उपयोग करने पर:$y=	an ^{-1}(3 x+2)+	an ^{-1}(2 x-1)$.अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}(	an ^{-1}(3 x+2))+\frac{d}{d x}(	an ^{-1}(2 x-1))$.$\frac{d y}{d x}=\frac{1}{1+(3 x+2)^2} 	imes 3+\frac{1}{1+(2 x-1)^2} 	imes 2$.$\frac{d y}{d x}=\frac{3}{9 x^2+12 x+4+1}+\frac{2}{4 x^2-4 x+1+1}$.$\frac{d y}{d x}=\frac{3}{9 x^2+12 x+5}+\frac{2}{4 x^2-4 x+2}$.दूसरे पद को सरल करने पर:$\frac{d y}{d x}=\frac{3}{9 x^2+12 x+5}+\frac{1}{2 x^2-2 x+1}$.

यदि $y=\tan ^{-1}\left(\frac{5 x+1}{3-x-6 x^2}\right)$ है,तो $\frac{d y}{d x}=$

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$\frac{d}{dx} \tan^{-1} \left( \frac{4\sqrt{x}}{1 - 4x} \right) = $

मान लीजिए $f(\theta) = \sin \left(\tan^{-1} \left(\frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos 2\theta}} \right) \right)$,जहाँ $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}$ है। तो $\frac{d}{d(\tan \theta)}(f(\theta))$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}$ है, तो $x = \frac{\pi}{6}$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2 \cdot 3^x}{1+9^x}\right)$ है,तो $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\frac{d}{dx} \left\{ \sin^2 \left( \cot^{-1} \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} \right) \right\} =$

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