यदि int frac{dx}{1+3 sin^2 x} = frac{1}{2} ta | vedclass

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Question

(A) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{dx}{1+3 \sin^2 x}$ है।अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$I = \int \frac{\sec^2 x dx

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$2 	an x$

Vedclass · Answer

(A) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{dx}{1+3 \sin^2 x}$ है।अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{\sec^2 x + 3 	an^2 x} = \int \frac{\sec^2 x dx}{1 + 	an^2 x + 3 	an^2 x} = \int \frac{\sec^2 x dx}{1 + 4 	an^2 x}$.माना $t = 	an x$,तो $dt = \sec^2 x dx$।समाकलन इस प्रकार हो जाता है:$I = \int \frac{dt}{1 + 4t^2} = \int \frac{dt}{1 + (2t)^2}$.सूत्र $\int \frac{du}{a^2 + u^2} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 2t$ और $du = 2dt$:$I = \frac{1}{2} \int \frac{2dt}{1 + (2t)^2} = \frac{1}{2} 	an^{-1}(2t) + c$.$t = 	an x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:$I = \frac{1}{2} 	an^{-1}(2 	an x) + c$.इसे दिए गए पद $\frac{1}{2} 	an^{-1}(f(x)) + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = 2 	an x$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{dx}{1+3 \sin^2 x} = \frac{1}{2} \tan^{-1}(f(x)) + c$ है,जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है,तो $f(x)$ किसके बराबर है?

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$\int \sec^p x \tan x \, dx = $

यदि $\int \frac{x^3 \, dx}{\sqrt{1+x^2}} = a(1+x^2) \sqrt{1+x^2} + b \sqrt{1+x^2} + c$ (जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है),तो $3ab$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{x \, dx}{1 - x \cot x} = $

$\int \frac{dx}{1+\sqrt{x}} = $

यदि $f'(x) = \frac{(\sqrt{x}+1)e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ और $f(0) = e$ है, तो $f(1) = \dots$

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