यदि int frac{x+1}{sqrt{2x-1}} , dx = f(x) sqr | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{x+1}{\sqrt{2x-1}} \, dx$. $2x-1 = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $x = \frac{t+1}{2}$ और $dx = \frac{1}{2} dt$ प्राप्त होता है।

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{3}(x+4)$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{x+1}{\sqrt{2x-1}} \, dx$. $2x-1 = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $x = \frac{t+1}{2}$ और $dx = \frac{1}{2} dt$ प्राप्त होता है। $I = \int \frac{\frac{t+1}{2} + 1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{2} \, dt$ $I = \frac{1}{2} \int \frac{\frac{t+3}{2}}{\sqrt{t}} \, dt = \frac{1}{4} \int \left( \frac{t}{\sqrt{t}} + \frac{3}{\sqrt{t}} \right) \, dt$ $I = \frac{1}{4} \int (t^{1/2} + 3t^{-1/2}) \, dt$ $I = \frac{1}{4} \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} + 3 \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} \right) + C$ $I = \frac{1}{4} \left( \frac{2}{3} t^{3/2} + 6 t^{1/2} \right) + C$ $I = \left( \frac{1}{6} t^{3/2} + \frac{3}{2} t^{1/2} \right) + C$ $I = \frac{1}{6} t^{1/2} (t + 9) + C$ $t = 2x-1$ वापस रखने पर: $I = \frac{1}{6} \sqrt{2x-1} (2x-1+9) + C$ $I = \frac{1}{6} \sqrt{2x-1} (2x+8) + C$ $I = \frac{1}{6} \cdot 2(x+4) \sqrt{2x-1} + C = \frac{1}{3}(x+4) \sqrt{2x-1} + C$ $f(x) \sqrt{2x-1} + C$ से तुलना करने पर,$f(x) = \frac{1}{3}(x+4)$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{x+1}{\sqrt{2x-1}} \, dx = f(x) \sqrt{2x-1} + C$ है,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है,तो $f(x)$ किसके बराबर है?

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निम्नलिखित समाकल ज्ञात कीजिए: $\int \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}$

$\int \frac{1}{(\cos^{-1} x) \sqrt{1 - x^2}} dx = $

$\int \sin^3 x \cos^2 x \, dx = $

$\int \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}} dx =$

$\int \sqrt{\frac{\cos x - \cos^3 x}{1 - \cos^3 x}} \, dx = $ . . . . . . $+ C$.

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