यदि tan ^{-1} sqrt{x^2+x}+sin ^{-1} sqrt{x^2+ | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण: $	an ^{-1} \sqrt{x^2+x}+\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}=\frac{\pi}{2}$ चूंकि $\sin ^{-1} 	heta + \cos ^{-1} 	heta = \frac{\pi}{2}$,ह

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(D) दिया गया समीकरण: $	an ^{-1} \sqrt{x^2+x}+\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}=\frac{\pi}{2}$ चूंकि $\sin ^{-1} 	heta + \cos ^{-1} 	heta = \frac{\pi}{2}$,हम लिख सकते हैं: $	an ^{-1} \sqrt{x^2+x} = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1} = \cos ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}$ माना $	an ^{-1} \sqrt{x^2+x} = 	heta$. तब $	an 	heta = \sqrt{x^2+x}$. इसका अर्थ है $\cos 	heta = \frac{1}{\sqrt{1 + (x^2+x)}}$. अतः,$\cos ^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}} ight) = \cos ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}$. तर्कों की तुलना करने पर: $\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}} = \sqrt{x^2+x+1}$ $1 = x^2+x+1$ $x^2+x = 0$ $x(x+1) = 0$ अतः,$x = 0$ या $x = -1$. $\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}$ के प्रांत के लिए,$0 \le x^2+x+1 \le 1$ आवश्यक है,जिसका अर्थ है $x^2+x \le 0$. $x=0$ के लिए,$x^2+x=0$ (मान्य)। $x=-1$ के लिए,$x^2+x=0$ (मान्य)। हालाँकि,$	an ^{-1} \sqrt{x^2+x}$ के लिए $x^2+x \ge 0$ आवश्यक है। इस प्रकार,$x^2+x=0$ ही एकमात्र समाधान है,जिससे $x=0$ या $x=-1$ प्राप्त होता है।

यदि $\tan ^{-1} \sqrt{x^2+x}+\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}=\frac{\pi}{2}$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $y = \tan^{-1}\left(\frac{1}{x^2 + x + 1}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{x^2 + 3x + 3}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{x^2 + 5x + 7}\right) + \dots$ $n$ पदों तक है,तो $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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